Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que
es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.
Por tanto, supongamos que
es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros
que es igual a
. Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla.
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:
Multiplicamos por
los dos miembros de la igualdad:
Esta expresión nos dice que
es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número.
Pero
es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.
Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de
, el otro 2 tiene que estar en el
Eso quiere decir que
también tiene que ser par, y por tanto
también es par.
Pero si
es par y
también, la fracción no es irreducible, como habíamos supuesto.
Ya hemos llegado al absurdo.