Plantilla:Ecuaciones con radicales

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Las ecuaciones con radicales son aquellas que tienen la x dentro de raices cuadradas. Para resolverlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial para detectar y recharzar las que no sean válidas.

Ejercicios resueltos: Ecuaciones con radicales

Resuelve las ecuaciones:

a) $\sqrt{2x-3} +1=x\;\!$

b) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\!$

Solución:

a) $\sqrt{2x-3} +1=x$

Aislamos la raíz:

$\sqrt{2x-3}=x-1$

Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:

$2x-3=x^2-2x+1 \rightarrow x^2 -4x + 4 \rightarrow x=2 \ (doble)$

Comprobación: $\sqrt{2 \cdot 2 - 3} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2$

Luego es válida $x=2 \;$ .

b) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4$

Despejamos la primera raíz (Podíamos haber empezado por la segunda)

$\sqrt{2x-3} = 4 - \sqrt{x+7}$

Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

$2x-3 = 16 + (x+7) -8\sqrt{x+7}$

Aislamos la raíz

$x -26 = -8\sqrt{x+7}$

Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

$x^2-52x+676=64(x+7) \rightarrow x^2-116x+228=0 \rightarrow \begin{cases}x_1=2 \\ x_2=114 \end{cases}$

Comprobación: $\begin{cases} x_1=2 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 2 -3} \sqrt{2+7}=\sqrt{1}+\sqrt{9} = 1+3=4 \\ x_2=114 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 114 - 3} + \sqrt{114+7}=15+11 \ne 4 \end{cases}$