Plantilla:Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Una inecuación cuadrática con una incógnita es una inecuación que puede ponerse de alguna de estas formas:

$ax^2+bx+c<0 \ , \quad ax^2+bx+c \le 0 \ , \quad ax^2+bx+c>0 \ , \quad ax^2+bx+c \ge 0 \qquad (a \ne 0)$

Ejemplos:

Son inecuaciones cuadráticas con una incógnita:

El método gráfico requiere que el miembro de la derecha de la inecuación sea cero, lo cual siempre se puede conseguir mediante transformaciones.

Ejemplo: Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Resuelve la siguiente inecuación:

$x^2-5x+4<0\;$

Solución:

Representamos la parábola $y=x^2-5x+4\;$ y nos fijamos para que valores de x, la gráfica está por debajo del eje X (es negativa).

En realidad basta hallar los puntos de corte con el eje X y determinar la dirección de las ramas a partir del signo del coeficiente de $x^2\;$ .

En este caso, los puntos de corte son $x_1=1\;$ y $x_2=4\;$ , soluciones de la ecuación de segundo grado

$x^2-5x+4=0\;$

y las ramas va hacia arriba porque el coeficiente de $x^2\;$ es positivo.

Solución: $x \in (1, 4)$

Actividad: Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Resuelve:

a) $x^2-5x+4 \le 0$

b) $\begin{cases} x^2-3x-4 \ge 0 \\ 2x-7>5 \end{cases}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) x^2-5x+4 <= 0 b) x^2-3x-4>=0, 2x-7>5

(pág. 86)

Ejercicios propuestos: Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

1. Resuelve estas inecuaciones:

a) $x^2-3x-4 < 0 \;$ b) $x^2-3x-4 \ge 0 \;$ c) $x^2+7 < 0 \;$ d) $x^2-4 \le 0 \;$

2. Resuelve estos sistemas de inecuaciones:

a) $\begin{cases} x^2-3x-4 & \ge 0 \\ \, \quad \quad 2x-7 & > 5 \end{cases}$ b) $\begin{cases} x^2-4 & \le 0 \\ \ x-4 & > 1 \end{cases}$

Solución:

Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones: