Conjuntos

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Tabla de contenidos

1 Conjuntos
2 Relaciones entre conjuntos
3 Operaciones con conjuntos
- 3.1 Conjuntos disjuntos
4 Cardinalidad

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere, pues, la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Conjuntos

Definición y notación

Un conjunto es una colección de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros.

Formas de definir un conjunto

Al definir un conjunto es habitual meter sus elementos entre llaves: $A=\{\; ......\;\}$ , siendo irrelevante el orden. Se puede hacer de dos maneras:

Por comprensión: mediante una propiedad que todos sus elementos poseen.
Por extensión: mediante la lista de todos sus elementos.

Para representarlos gráficamente se usan los llamados diagramas de Venn. (Ver Fig.1)

Ejemplo

Si para los números naturales se considera la propiedad de "ser un número natural menor que 5", entonces, el conjunto de los números naturales que cumplen esa propiedad sería:

Por extensión: $A= \{ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \}$
Por comprensión: $A= \{ n\acute{u}meros~ naturales~ merores~ que~ 5 \}$ ó $A= \{ m~ /~ m \in \mathbb{N},~ m < 5 \}$

(En la segunda expresión la barra oblicua "/" significa «tal que». En lugar de la barra oblicua se utiliza también la barra vertical "

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" o los dos puntos ":")

Fig.1 - Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, A, tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en A es irrelevante.

Conjunto vacío

El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por $\varnothing$ o simplemente { }.

Conjunto universal

El conjunto universal, que denotaremos por U, es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado.

Relaciones entre conjuntos

Relación de pertenecia

Un elemento se dice que «pertenece» al conjunto y se denota mediante el símbolo $\in$ , si forma parte de él. Este símbolo lo introdujo Peano. La expresión $a \in A$ se lee «a pertenece a A». Para la noción contraria se usa el símbolo $\notin$ .

Relación de igualdad

Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa. Por ello, la relación de igualdad entre conjuntos se define como:

Dos conjuntos A y B, son iguales (A=B) si y sólo si tienen los mismos elementos (Axioma de extensionalidad).

Fig.2 - Relación de pertenencia

Consecuencias del axioma de extensionalidad

Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, por extensión o por comprensión, y ser el mismo conjunto.
El orden en el que se listan los elementos no se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos.
Un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Si en la lista aparece un elemento repetido es como si sólo apareciese una vez.
Existe un único conjunto vacío, ya que lo único que distingue a un conjunto son sus elementos.

Ejemplo

Repetir elementos o cambiar el orden no define un conjunto nuevo:

$S= \{ a,~ b,~ c,~ d,~ e \}= \{ b,~ d,~ c,~ a,~ e \}=\{ a,~ a, ~b,~ c,~ e,~ d \}$

Relación de inclusión. Subconjuntos

Un conjunto B es un subconjunto del conjunto A si cada elemento de B es a su vez un elemento de A. (Ver Fig.3)

Lo denotaremos $B \subseteq A$ . También puede escribirse $A \supseteq B$ y se lee "B está incluido en A", "A contiene a B", "B está contenido en A", "A incluye a B" o "A es un superconjunto de B".

B es un subconjunto propio de A si es un subconjunto de A pero no es igual a A.

Lo denotaremos $B \subset A$ ó $A \supset B$

Ejemplos

Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo: $A \subseteq A$
El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».
$\{1,~ 3 \} \subset \{ 1,~ 2,~ 3,~ 4 \}$

Fig.3 - Representación de la relación de inclusión mediante diagrama de Venn: Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de estos últimos es otro conjunto, en particular, un subconjunto del primero.

Operaciones con conjuntos

Unión: La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como $A \cup B$ , es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos.

$A\cup B = \{x~/~x\in A\or x\in B\}$

Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B, que se representa como $A \cap B$ , es el conjunto de todos los elementos comunes a los dos conjuntos.

$A\cap B = \{x~/~x\in A\and x\in B\}$

Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto $A^c \;$ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto universal U que lo contiene.

$A^c=\{x~/~x\in U\and x\not\in A\}$

Diferencia: La diferencia del conjunto A con el onjunto B es el conjunto $A - B \;$ que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.

$A-B=A \cap B^c$

Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto $A \, \triangle \, B$ con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

$A \, \triangle \, B=A \cup B - A \cap B$

Producto cartesiano: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto $A \times B$ de todos los pares ordenados (a,b) formados con un primer elemento "a" perteneciente a A, y un segundo elemento "b" perteneciente a B.

$A \times B = \{(x,y)~/~x\in A\and y\in B\}$

Ejemplos

$\{ 0,~ 1,~ 2 \} \cup \{a, ~b \} = \{0, ~1,~ 2,~ a,~ b \}$
$\{ 0,~ 1,~ 2 \} \cap \{0, ~-1,~ -2 \}=\{ 0 \}$
$\{ 0,~ 1,~ 2 \} - \{0, ~-1,~ -2 \} = \{~1,~ 2 \}$
$\{ 0,~ 1,~ 2 \}~ \triangle~ \{0, ~-1,~ -2 \}=\{1,~2, ~-1,~ -2 \}$
$\{ 0,~ 1,~ 2 \}~ \times ~ \{0,~ -1,~ -2 \}=\{(0,0),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,-1),(1,-2),(2,0),(2,-1),(2,-2) \}$

Fig.4 - $A \cup B$

Fig.5 - $A \cap B$ .

Fig.6 - $A^c \;$ .

Fig.7 - $A - B \;$ .

Fig.8 - $A \, \triangle \, B$ .

Actividad: Operaciones con conjuntos

a) Representa $(A \cup B) \cap C$

b) Representa $(A^c \cup B)- C$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) (A union B) intersect C

b) (A' union B) \ C

Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Es decir, su intersección es el conjunto vacio.

Cardinalidad

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del conjunto. El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal. El cardinal se denota por $card(A) \;$ , $|A \;|$ ó $\#A$ .
En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso, por ejemplo, de los números naturales. Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, de manera que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.