Operaciones con números naturales (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Suma de números naturales
- 1.1 Propiedades de la suma
2 Resta de números naturales
3 Multiplicación o producto
- 3.1 Propiedades de la multiplicación
- 3.2 Producto por 10, 100, 1000, ....
4 División
- 4.1 Cociente por defecto y por exceso
- 4.2 Propiedades de la división
5 Operaciones combinadas

Suma de números naturales

Sumar es unir, juntar, añadir.

Propiedades de la suma

Propiedades de la suma

Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

$a+b = b+a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Ejemplo:

Conmutativa:

$8 + 6 = 6 + 8\,$

$14 = 14\,$

Asociativa:

$( 3 + 2 ) + 6 = 3 + ( 2 + 6 )\,$

$5 + 6 = 3 + 8\,$

$11 = 11\,$

Sumas Descripción:

Cálculo mental con sumas.

Resta de números naturales

Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra es decir , calcular la diferencia.

Restas Descripción:

Cálculo mental con restas.

Ejercicios propuestos: Sumas y restas

(Pág. 12)

4, 5

Multiplicación o producto

Multiplicar, es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.

Ejemplo

Si un comerciante vende 5 equipos de sonido a 250 € cada uno, el dinero que ingresa es:

$250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 250 \cdot 5 = 1250$ €

Multiplicación 1 Descripción:

Cálculo mental con multiplicaciones.

Multiplicación 2 Descripción:

Asocia los factores con su producto.

Propiedades de la multiplicación

Propiedades de la multiplicación

Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

$a \cdot b = b \cdot a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o rsta) de los productos del número por cada sumando.

$a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c$

Ejemplo:

Conmutativa:

$8 \cdot 6 = 6 \cdot 8\,$

$48 = 48\,$

Asociativa:

$( 3 \cdot 2 ) \cdot 6 = 3 \cdot ( 2 \cdot 6 )\,$

$6 \cdot 6 = 3 \cdot 12\,$

$36 = 36\,$

Distributiva:

$3 \cdot (2 + 6) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 6 \,$

$3 \cdot 8 = 6 + 18 \,$

$24 = 24\,$

Ejemplo: Propiedad distributiva del producto

Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?

Solución:

Podemos resolver el problema de dos formas:

Primera forma:

Alfredo-----> $15 \cdot 4 = 60$

Teresa------> $15 \cdot 2 = 30$

Total---------> $15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 = 60 + 30= 90\,$ €

Segunda forma:

Alfredo y Teresa compran 4 + 2 entradas

Luego en total gastan entre los dos: $15 \cdot (4 + 2 )= 15 \cdot 6 = 90$ €

Propiedad distributiva Descripción:

Asocia las expresiones numéricas equivalentes.

Producto por 10, 100, 1000, ....

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10. 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).

Ejemplos

$12 \cdot 10 = 120$
$12 \cdot 100 = 1200$
$12 \cdot 1000 = 12000$

Ejercicios propuestos: Multiplicación

(Pág. 13)

7, 10, 11

División

Dividir consiste en repartir en partes iguales o partir en partes de un determinado tamaño.

Una división puede ser exacta o entera dependiendo de su resto:

Si el resto es 0 la división es exacta y el dividendo es igual al divisor por el cociente:

$D = d \cdot c\,$

Si el resto es distinto de cero la división es entera y el dividendo es igual al divisor por cociente mas el resto:

$D= d \cdot c + r\,$

División Descripción:

Cálculo mental con divisiones.

División entera Descripción:

Cálculo con divisiones.

Cociente por defecto y por exceso

Ejemplo: Cociente por defecto y por exceso

Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.

a) ¿Cuántos taxis completarán?

b) ¿Cuántos taxis se necesitan?

c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?

Solución:

a) Completan 10 taxis y sobran 3 turistas. ( $43= 10 \cdot 4 + 3$ )
b) Se necesitan 11 taxis, aunque en el último taxi quede un asiento libre.

c) El cociente por defecto sería 10 y el cociente por exceso sería 11.

Propiedades de la división

Propiedad

Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.

Ejemplo: Propiedades de la división

Observa la siguiente división: $360 : 120 = 3\,$ y escribe los cocientes de las siguientes divisiones, sin hacerlas:

a) $(3 \cdot 360) : (3 \cdot 120)$

b) $36 : 12\,$

c) $18 : 6\,$

Solución:

a) 3; b) 3; c) 3.

Ejercicios propuestos: División

(Pág. 15)

16, 19

12, 14, 17, 18

Operaciones combinadas

Jerarquía de las operaciones

Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden: