Ampliación del concepto de ángulo (1ºBach)

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(Pág. 108)

Hasta ahora hemos trabajado con ángulos comprendidos entre 0º y 360º. Vamos a extender el estudio a ángulos con una medida mayor que 360º. Igualmente haremos con ángulos negativos.

Ángulos coterminales

Dos ángulos $\alpha \;$ y $\beta\;$ son coterminales ( $\alpha \equiv \beta$ ), si se diferencian en un número entero de vueltas a la circunferencia goniométrica. Es decir,

$\alpha \equiv \beta \iff \exist n \in \mathbb{Z} \ / \ \beta = \alpha + n \cdot 360^\circ$ .

Ejemplo

Los ángulos 30º, 390º y 750º son coterminales.

En efecto:

390º = 30º+360º

750º =30º+2·360º

Propiedades

Los ángulos coterminales tienen las mismas razones trigonométricas.
Dado un ángulo mayor que 360º, existe un ángulo comprendido entre 0º y 360º coterminal con él, que es el resto de la división entre el ángulo y 360º.
Dado un ángulo negativo, existe un ángulo positivo coterminal con él.

Demostración:

Por tener la misma posición en la circunferencia goniométrica.
Al hacer la división y quedarnos con el resto, le estamos quitando un número exacto de vueltas y por tanto son coterminales.
Basta con sumarle 360º un número suficiente de veces.

Ejemplo

El ángulo -60º tiene por coterminal al ángulo 300º (-60º+360º). Por tanto, las razones trigonométricas de -60º y 300º son las mismas.

Si un ángulo $\alpha\;$ tiene medida superior a 360º, al ángulo $\beta\;$ con medida inferior a 360º coterminal con $\alpha\;$ , decimos que es la reducción al primer giro de $\alpha\;$ .

Ejemplo

3000º es coterminal con 120º porque la división 3000:360 da 120 de resto. Entonces 120º es la recucción al primer giro de 3000º.

Reducción de un ángulo al primer giro (7´03") Sinopsis:

Si un ángulo orientado "A" tiene medida superior a 360º, del único ángulo "B" con medida inferior a 360º coterminal con "A", decimos que es la reducción al primer giro de "A".
Ejemplos.