Plantilla:Perímetros y áreas

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Tabla de contenidos

Cuadrado

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=a^2 \;\!

  • Elementos:
a\;: lado.

Área y perímetro del cuadrado     Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del cuadrado; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del cuadrado.

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El cuadrado
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Actividad: El cuadrado

a) Halla el área de un cuadrado de 5 cm de lado.
b) Halla el perímetro de un cuadrado de 3 m de lado.
c) Halla la diagonal de un cuadrado de 20 mm de lado.
d) Halla el ángulo central de un cuadrado.
e) Halla el ángulo interior de un cuadrado.
f) Halla la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) square edge length 5 cm area
b) square edge length 3 m perimeter
c) square edge length 20 mm diagonal length
d) square central angle
e) square interior angle
f) square interior angle sum

Rectángulo

  • Perímetro:

P=2 \cdot a+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.

Área y perímetro del rectángulo     Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rectángulo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rectángulo.

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El rectángulo
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Actividad: El rectángulo

a) Halla el área de un rectángulo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en m2.
b) Halla el perímetro de un rectángulo de 30 m y 5 dam de lados, expresada en dam2
c) Halla la diagonal de un rectángulo de 30 mm y 5 dm de lados, expresada en cm.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) rectangle edge length 5 cm, 20 dm area in meters
b) rectangle edge lengths 30 m, 5 dam perimeter in dekameters
c) rectangle edge lengths 30 mm, 5 dm diagonal length in centimeters

Paralelogramo

  • Perímetro:

P=2 \cdot c+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c\;: lado
  • Nota:
El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

Área del paralelogramo     Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del paralelogramo y practicar con ella.

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El paralelogramo
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Actividad: El paralelogramo

a) Halla el perímetro de un paralelogramo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en dm.
b) Halla el área de un paralelogramo de 50 cm de base y 2 dm de altura.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) parallelogram edge length 5 cm, 20 dm perimeter in decimeters
a) parallelogram width 5 cm heigth 2 dm area

Rombo

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=\cfrac {D \cdot d}{2}

  • Elementos:
a\;: lado.
D\;: diagonal mayor.
d\;: diagonal menor.
  • Nota:
Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.

Área y perímetro del rombo     Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rombo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rombo.

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El rombo
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Actividad: El rombo

a) Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en dm2.
b) Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en cm.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) rhombus diagonal length 12 m, 20 m area in decimeters
b) rhombus diagonal length 12 m, 20 m perimeter in centimeters

Triángulo

  • Perímetro:

P=b+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {b \cdot a}{2}

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c \ , d\;: lados.
  • Nota:
Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

Área del triángulo     Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del triángulo.

ejercicio

Fórmula de Herón

La superficie de un triángulo de lados a\;, b\;, c\; viene dada por:

A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,

donde s\; es el semiperímetro: s=\frac{a+b+c}{2}.

Demostración:

Nota: El nivel de esta demostración corresponde a 1º de Bachillerato.

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente.

Supongamos un triángulo de lados a\;, b\;, c\;, cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son \hat{A}\;, \hat{B}\;, \hat{C}\;.

Por el teorema del coseno, tenemos que:

\cos(\hat{C}) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que:

\sin(\hat{C}) = \sqrt{1-\cos^2(\hat{C})} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.

La altura de un triángulo de base a\; tiene una longitud b sin(\hat{C}), por tanto siguiendo con la demostración

A = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})
\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(\hat{C})
\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}
\qquad = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.

Fórmula de Herón     Descripción:

En esta escena podrás calcular el área de un triángulo mediante la fórmula de Herón.

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El triángulo
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Actividad: El triángulo

a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en dm2.
b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.
c) Halla los lados de un triángulo rectángulo isósceles de área 1 m2.
d) Halla el área de un triángulo equilátero de lado 5 cm.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters
b) triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area
c) isosceles right triangle area 1 m^2 edge lengths
c) equilateral triangle edge length 5cm area

Trapecio

  • Perímetro:

P=b+B+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}

  • Elementos:
B\;: base mayor.
b\;: base menor.
a\;: altura.
c \ , d\;: lados.

Área del trapecio     Descripción:

Esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del trapecio; en la segunda podrás aplicar dicha fórmula en un caso práctico.

Otra forma de calcular el área del trapecio     Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del trapecio de otra manera. Además podrás realizar el cálculo del área en una actividad.

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El trapecio
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Actividad: El trapecio

a) Halla el área de un trapecio de bases 5 cm y 7 cm y altura 4 cm.
b) Halla la altura de un trapecio de bases 5 cm y 7 cm y área 24 cm2.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) trapezoid base lengths 5cm, 7cm height 4cm area
b) trapezoid base lengths 5cm, 7cm area 24cm^2 height

Polígonos regulares

Imagen:poligono.png

  • Perímetro:

P=n \cdot b

  • Área:

A=\cfrac {P \cdot a}{2}

  • Elementos:
b\;: lado.
a\;: apotema.
  • Nota:
n\;: número de lados.

Polígonos regulares     Descripción:

En esta escena podrás estudiar los elementos de un polígono regular: lados, diagonales, apotema y ángulos. También podrás calcular el perímetro y el área. El número de lados puede elegirse entre 3 y 20.

Área de polígonos regulares     Descripción:

En esta escena podrás ver cómo se deduce el área de un polígono regular.

Cálculo del área de polígonos regulares     Descripción:

En esta escena podrás calcular el área y el perímetro de algunos polígonos regulares.

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Polígonos regulares
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Actividad: Polígonos regulares

a) Halla el área de un hexágono regular de 5 cm de lado.
b) Halla el perímetro de un hexágono regular de 3 m de radio.
c) Halla el ángulo central de un pentágono regular.
d) Halla el ángulo interior de un octógono regular.
e) Halla la suma de los ángulos interiores de un eneágono regular en grados sexagesimales.
f) Halla el área (en dm2) de un hexágono regular de 4 cm de apotema.
g) Halla el área del círculo inscrito en un hexágono regular de 3 m de radio.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) regular hexagon edge length 5cm area
b) regular hexagon radius 3m perimeter
c) regular pentagon central angle
d) regular octagon interior angle
e) regular 9-gon interior angle sum in deg
f) regular 6-gon apothem 4cm area in dm^2
g) regular 6-gon radius 3 m incircle

Círculo

Imagen:circulo.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot r

  • Área:

A=\pi \cdot r^2

  • Elementos:
r\;: radio.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

ejercicio

Actividad interactiva: Círculo

Actividad 1: Comprobación de la fórmula de la longitud de la circunferencia.

Actividad:
Desliza el punto verde y observa
Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: Aproximación a la fórmula del área del círculo.

Actividad:
Desliza el punto verde y observa


Click aquí si no se ve bien la escena
Actividad 3: En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia.
Actividad:
Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:
Calculo del área y del perímetro de un círculo.
Click aquí si no se ve bien la escena
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El círculo
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Actividad: El círculo

a) Halla el área de un círculo de 3 m de radio.
b) Halla la longitud de la circunferencia de 3 m de radio.
c) Halla el área de un círculo cuyo perímetro mide 18 π m.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) circle radius 3m area
b) circle radius 3m perimeter
c) circle perimeter 18*pi m area

Corona circular

Imagen:corona.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)

  • Área:

A=\pi \cdot (R^2-r^2)

  • Elementos:
r \ , R\;: radios respectivos.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

ejercicio

Actividad interactiva: Corona circular

1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente.
Actividad:
Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:
Calculo del área de una corona circular
(Mueve el punto azul para modificar el radio pequeño)
Click aquí si no se ve bien la escena

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La corona circular
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Actividad: La corona circular

a) Halla el área de una corona circular de radios 3 m y 5 m.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) annulus, inner radius 3m, outer radius 5m, area

Sector circular

  • Perímetro:

l=\cfrac{2 \pi r \cdot \alpha}{360^o}; \ P = l+2 \cdot r

  • Área:

A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}

  • Elementos:
r\;: radio.
l\;: arco.
\alpha\;\!: ángulo (en grados sexagesimales).
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.

Demostración: 

La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres.


\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}

Despejando el área del sector:

A_{Sect}=\cfrac{A_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}


de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, \pi r^2\;\!, se obtiene la fórmula.


Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.


\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}

Despejando la longitud del sector:

L_{Sect}=\cfrac{L_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}


de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, 2 \pi r\;\!, se obtiene la fórmula.

ejercicio

Actividad interactiva: Sector circular

1. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco.
Actividad:
Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:
Calculo del área de un sector circular
(Mueve el punto B para modificar el ángulo)
Click aquí si no se ve bien la escena

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El sector circular
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Actividad: El sector circular

a) Halla el área de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.
b) Halla el perímetro de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) circular sector, radius 3m, angle 45º, area
b) circular sector, radius 3m, angle 45º, perimeter

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Per%C3%ADmetros_y_%C3%A1reas"
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