La parábola (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 La parábola
- 1.1 Elementos de la parábola
2 Excentricidad de la parábola
3 Ecuaciones de la parábola
4 Construcciones de la parábola

La parábola

Dados un punto $F\,$ llamado foco, y una recta $d\,$ , llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano que equidistán del foco y de la directriz:

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)=d(P,d) \big \}$

Elementos de la parábola

Una parábola de foco $F\,$ y directriz $d\,$ , determina los siguientes elementos:

Vértice: $O\,$ .
Distancia del foco a la directriz: $p=d(d,F)\,$ .

Propiedad de la parábola Descripción:

Escena que muestra la propiedad de la parábola de que cualquier "rayo" perpendicular a la directriz rebota en la tangente a la curva y se refleja en dirección al foco.

Aplicaciones prácticas:

Las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.

La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.

Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se deplaza de la posición focal.

La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Analogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.

Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.

Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energía solar.

Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se situa en el foco de una superficie parabólica.

Tiro parabólico Descripción:

En la siguiente escena vamos a estudiar la trayectoria de un proyectil.

Excentricidad de la parábola

La excentricidad de la parábola es el cociente entre $c=d(F,O)\,$ y $a=d(O,d)\,$ . En consecuencia, la excentricidad de la parábola es siempre igual a 1.

$e=\cfrac{c}{a}=1$

Ecuaciones de la parábola

Ecuación reducida de la parábola

Ecuación reducida de la parábola

La ecuación de una parábola con foco en el eje de abscisas, directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el origen de coordenadas, es:

$y^2=2px\,$

Demostración:

Recordemos que $p=d(F,d)\,$ . Por tanto, las coordenadas del foco y la ecuación de la directiz son:

$F \Big( \cfrac{p}{2},0 \Big) \qquad d: \; x=-\cfrac{p}{2}$

Como cualquier punto $P(x,y)\,$ de la parábola cumple que:

$d(P,F)=d(P,d)\,$

Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática, tenemos:

$\sqrt{\Big( x-\cfrac{p}{2}}\Big)^2+y^2=x+\cfrac{p}{2}$

Elevando ambos miembros al cuadrado:

$x^2-\cfrac{p^2}{4}-px+y^2=x+\cfrac{p^2}{4}+px$

Y simplificando:

$y^2=2px\,$

Ecuación reducida de la parábola Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la parábola con distancia del foco a la directriz p=2.

Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas

Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas

La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el el punto $O(\alpha,\beta)\,$ , es:

$(y-\beta)^2=2p(x-\alpha)\,$

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto $O(\alpha,\beta)\,$ , es:

$(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,$

Esta ecuación también se puede expresar de la siguiente manera:

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto $O(\alpha,\beta)\,$ , es:

$y = ax^2 + bx + c \,$

donde

$a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta$

Demostración:

Basta con desarrollar la ecuación

$(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,$

$x^2 -2 \alpha x + \alpha^2=2py-2p \beta\,$

$x^2 -2 \alpha x + \alpha^2 +2p \beta=2py \,$

Despejando $y\,$ :

$y=\cfrac{1}{2p}x^2 -\cfrac{\alpha}{p} x + \cfrac{\alpha^2 +2p \beta}{2p}$

donde basta con llamar:

$a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta$

Proposición

Las coordenadas vértice $O(\alpha,\beta)\,$ , de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas $y = ax^2 + bx + c \,$ , son:

$\alpha = \frac{-b}{2a}; \ \ \beta = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Demostración:

Partiendo del resultado anterior en el que teníamos que:

$a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta$

Despejando $p\,$ de la primera ecuación: $p=\cfrac{1}{2a}$

Despejando $\alpha \,$ de la segunda ecuación: $\alpha=-pb=-\cfrac{b}{2a}$

Despejando $\beta \,$ de la tercera ecuación: $\beta=c-\cfrac{\alpha^2}{2p}=c-\cfrac{\cfrac{b^2}{4a^2}}{\cfrac{1}{a}}=c-\cfrac{b^2}{4a}=\cfrac{4ac-b^2}{4a}$