Límite de una sucesión (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Representación gráfica de una sucesión
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Concepto de límite de una sucesión
- 2.1 Sucesiones oscilantes
- 2.2 Sucesiones alternadas
3 Ejercicios
- 3.1 Ejercicios propuestos

Para acercarnos a la idea de límite, vamos a empezar viendo algunas representaciones gráficas de sucesiones.

(pág. 61)

Representación gráfica de una sucesión

Para representar gráficamente una sucesión $a_n\;$ , construiremos una tabla donde anotaremos el valor de $a_n\;$ para distintos valores de n.

Las parejas $(n,a_n),\ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ obtenidas en la tabla, son las coordenadas de los puntos de la representación gráfica de la sucesión, que dibujaremos en unos ejes de coordenadas cartesianos.

Ejercicios resueltos: Representación gráfica y límite de una sucesión

Representa graficamente las siguientes sucesiones:

a) $a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}$

b) $a_{n} = \cfrac{n^2}{5}-4n\;$

Solución:

a) $a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}$

Construimos la tabla de valores:

n	1	2	3	4	5	100	1000
a_n	1.25	2	2.5	2.85	3.1	4.85	4.98

Se observa que los términos de la sucesión se acercan cada vez mas a 5. Concluiremos diciendo que el límite de esta sucesión es 0, y lo escribiremos simbólicamente de la siguiente manera:

$lim \ a_n = lim \ \cfrac{5n}{n+3} = 5$

Ver la representación del aptdo. a) con Geogebra Descripción:

En esta escena de Geogebra podrás ver como se representa gráficamente la sucesión $a_n=\cfrac{5n}{n+3}$ .

b) $a_{n} = \cfrac{n^2}{5}-4n \;$

Construimos la tabla de valores:

n	1	2	3	4	5	100	1000
a_n	-3.8	-7.20	-10.2	-12.8	-15	1600	196000

Se observa que los términos crecen y se hacen indefinidamente grandes. Concluiremos diciendo que el límite de esta sucesión es $+ \infty\;$ , y lo escribiremos simbólicamente de la siguiente manera:

$lim \ a_n = lim \ \cfrac{n^2}{5}-4n = + \infty$

Ver la representación del aptdo. b) con Geogebra Descripción:

En esta escena de Geogebra podrás ver como se representa gráficamente la sucesión $a_n=\cfrac{n^2}{5}-4n$ .

Observa que, en ambos ejemplos, los valores obtenidos cuando n es pequeño, no son representativos del valor del límite. Por tanto, el valor del límite debe deducirse tomando valores de n suficientemente grandes.

Representación gráfica y límite de una sucesión

Actividad: Representación gráfica y límite de una sucesión

1. Dada la sucesión $a_n=-n^2 \;$

a) Elabora una tabla de valores para n=1,2,...,10.

b) Representa gráficamente los puntos de esa tabla.

c) Calcula $lim \ -n^2$

2. Dada la sucesión $a_n={1 \over n} \;$

a) Elabora una tabla de valores para n=1,2,...,10.

b) Representa gráficamente los puntos de esa tabla.

c) Calcula $lim \ {1 \over n}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Table[-n^2,{n,1.,10.}] o Table[-n^2,{n,1.,1000.,100}]

b) Plot Table[-n^2,{n,1.,1000.,100}]

c) limit -n^2 as n->+oo

a) Table[1/n,{n,1.,10.}]

b) Plot Table[1/n,{n,1,10}]

c) limit 1/n as n->+oo

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Representación gráfica y límite de una sucesión

(Pág. 61)

1, 2, 3

(pág. 62)

Concepto de límite de una sucesión

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ podemos conseguir que se aproximen a un número $l \in \mathbb{R}$ , tanto como queramos (a menos de una distancia $\varepsilon \;$ tan pequeña como deseemos) al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $l\;$ o que su límite es $l\;$ . Diremos que la sucesión es convergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = l \ \Leftrightarrow \ \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ |a_n -l|<\varepsilon$

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $+\infty \;$ o que su límite es $+\infty \;$ . Diremos que la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = +\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n> k$

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $-\infty \;$ o que su límite es $-\infty \;$ . Diremos que la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = -\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k < 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n< k$

Límite de una sucesión

Límite de una sucesión de números reales (20´03") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabajan los Límites de Sucesiones. Mediante ejemplos se da a conocer este concepto matemático así como los distintos casos que pueden ocurrir de sucesiones convergentes, divergentes o bien cuando no existe límite.

Indeterminaciones (30´26") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el concepto matemático del infinito, así como las operaciones aritméticas que se pueden hacer con él y aquellas que no, de las cuales surgen algunas de las indeterminaciones que aparecerán en el cálculo de límites.

Sucesiones de números reales (17´44") Sinopsis:

Concepto de sucesión de números reales. Ejemplos.
Introducción de la notación necesaria para el comprender el concepto de límite de una sucesión de números reales.

Visualización de una sucesión de números reales (11´36") Sinopsis:

Representación gráfica de una sucesión de números reales.

Límite de una sucesión de números reales (11´15") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite finito de una sucesión de números reales. (sucesión convergente)
Ejemplos.
Visualización del concepto de límite.

Ejercicio (10´35") Sinopsis:

Demostrar que $lim \ \frac{5n-3}{2n+1}=\frac{5}{2}$ usando la definición rigurosa de límite.

Límites infinitos (21´27") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite infinito (sucesión divergente)
Ejemplos.
Visualización del concepto de límite infinito.

Propiedades aritméticas de los límites (14´20") Sinopsis:

Propiedades aritméticas de los límites (límite de una suma, de un producto, de un cociente, de una potencia, etc.)
Ejemplos.
Indeterminaciones matemáticas.

Indeterminaciones matemáticas (8´10") Sinopsis:

Las diversas indeterminaciones matemáticas.

Infinitos potenciales (6´54") Sinopsis:

Definición de infinito potencial de grado k.
Ejemplos.

Cociente de infinitos potenciales (9´09") Sinopsis:

Cociente de infinitos potenciales.
Ejemplos.

Otros infinitos (13´01") Sinopsis:

Definición de infinito de orden superior, inferior o igual a otro infinito.
Ejemplos.

Concepto de límite de una sucesión Descripción:

En esta escena de Geogebra podrás ver como se representa gráficamente la sucesión $a_n=\cfrac{5n}{n+3}$ y como se interpresta que su límite sea igual a 5.

Teorema

Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente. Mas concretamente:

Una sucesión de números reales creciente y acotada superiormente es convergente.
Una sucesión de números reales decreciente y acotada inferiormente es convergente.

Demostración:

La demostración excede el nivel de este curso

(pág. 63)

Sucesiones oscilantes

Una sucesión diremos que es oscilante si no es convergente ni divergente, es decir, son sucesiones que no tienen límite (ni finito, ni infinito)

Ejemplos:

Son sucesiones oscilantes:

$\{1, -1,\, 2, -2,\, 3, -3,\, 4, -4, ...\}\;$

$\{0,\, 1,\, 0,\, 2,\, 0,\, 3,\, 0,\, 4,\, 0,\, 5,\, ...\}\;$

Ejemplo: Sucesión oscilante

La siguiente sucesión no tiene límite

$a_n=(-1)^{n+1} \cdot n$

Solución:

En efecto, los términos de esta sucesión son:

$-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ 6,\ -7,\ 8,\ \cdots$

Se trata de una que no es ni convergente, ni divergente. (sucesión oscilante). También es una sucesión alternada porque sus términos van alternando entre positivos y negativos.

Esto es debido a que sus términos se aproximan a dos valores distintos: los términos impares tienden a $+\infty \;$ y los pares a $-\infty \;$ , como puede verse en la representación gráfica de la sucesión.

Sucesiones alternadas

Una sucesión diremos que es alternada si sus términos van alternando en signo

Ejemplos:

Son sucesiones alternadas:

$\{1, -1,\, 2, -2,\, 3, -3,\, 4, -4, ...\}\;$ , que además es oscilante.

$\{1, -1,\, \cfrac{1}{2},\, -\cfrac{1}{2},\, \cfrac{1}{4},\, -\cfrac{1}{4},\, \cfrac{1}{8},\, -\cfrac{1}{8},...\}\;$ , que además es convergente (a cero).

(Pág. 63)

Ejercicios

Ejercicios resueltos: Límite de una sucesión

1. Estudiar el comportamiento de las siguientes sucesiones para valores de n avanzados e indicar su límite:

a) $a_n=3+\frac{10}{n}$

b) $b_n=\frac{n^2-n}{2}$

2. Comprobar si las siguientes sucesiones tienen límite:

a) $a_n=(-3)^n \;$

b) $c_n=\frac{(-1)^n}{n}$

Solución:

Utilizaremos Wolfram para comprobarlos:

1a. $a_n=3+\frac{10}{n}$

Table[3+10/n,{n,1.,10.}] o Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]

Plot Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]

limit 3+10/n as n->+oo

1b. $b_n=\frac{n^2-n}{2}$

Table[(n^2-n)/2,{n,1.,10.}] o Table[(n^2-n)/2,{n,1.,1000.,100}]

Plot Table[(n^2-n)/2,{n,1.,1000.,100}]

limit (n^2-n)/2 as n->+oo

2a. $a_n=(-3)^n \;$

Table[(-3)^n,{n,1.,10.}]

Plot Table[(-3)^n,{n,1.,10.}]

limit (-3)^n as n->+oo

2b. $c_n=\frac{(-1)^n}{n}$

Table[(-1)^n/n,{n,1.,10.}] o Table[(-1)^n/n,{n,1.,1000.,100}]

Plot Table[(-1)^n/n,{n,1.,1000.,100}]

limit (-1)^n/n as n->+oo

Nota: La sucesión 2b no es una sucesión oscilante ya que tiene límite igual a cero. El hecho de que alterne signos hace que reciba el nombre se sucesión alternada.

Ejercicio: Límite de una sucesión

1. Representa gráficamente las siguientes sucesiones e indica si tienen o no límite, calculándolo en su caso:

a) $a_n=n^2\;$

b) $b_n=\cfrac{7n}{n+1}$

c) $c_n=\cfrac{n^2-6n-1}{5n+1}$

d) $d_n=(-1)^n \cdot (2n+1)$

e) $e_n=\cfrac{n^2-2}{2n^2+1}$

f) $f_n=\cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1}$

g) $g_n=\cfrac{90n+90}{n^2}$

h) $h_n=\sqrt{4n+5}$

i) $i_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}$

j) $j_n=\cfrac{(-1)^n \cdot (n+5)}{n^2}$

Solución:

Límites:

a) $lim \ a_n=lim \ n^2 = +\infty \;$

b) $lim \ b_n=lim \ \cfrac{7n}{n+1} = 7$

c) $lim \ c_n=lim \ \cfrac{n^2-6n-1}{5n+1} = +\infty$

d) $lim \ d_n=lim \ (-1)^n \cdot (2n+1)$ (No tiene límite, es oscilante)

e) $lim \ e_n=lim \ \cfrac{n^2-2}{2n^2+1} = \cfrac{1}{2}$

f) $lim \ f_n=lim \ \cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1} = +\infty$

g) $lim \ g_n=lim \ \cfrac{90n+90}{n^2} = 0$

h) $lim \ h_n=lim \ \sqrt{4n+5} = +\infty$

i) $i_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}$ (No tiene límite, es oscilante)

j) $lim \ j_n=lim \ \cfrac{(-1)^n \cdot (n+5)}{n^2} = 0$

Representación gráfica:

En la siguiente escena tienes la representación gráfica de las sucesiones. Pulsa los cursores "sucesión" para cambiar de sucesión. Haz uso del zoom y del cambio de escala O.x y O.y para visualizar mejor los resultados. Mueve el punto amarillo para ver la sucesión término a término.

Click aquí si no se ve bien la escena