Límite de una función (2ºBach)
De Wikipedia
Tabla de contenidos[esconder] |
Introducción
Recordemos algunos conceptos:
- Decimos que " tiende a por la izquierda" () cuando toma valores menores que , cada vez más próximos a , tan próximos a como se quiera.
- Decimos que " tiende a por la derecha" () cuando toma valores mayores que , cada vez más próximos a , tan próximos a como se quiera.
- Decimos que " tiende a " () cuando toma valores cada vez más próximos a , tan próximos a como se quiera, tanto a su izquierda como a su derecha.
- Decimos que " tiende a + infinito" () cuando toma valores positivos tan grandes como queramos.
- Decimos que " tiende a - infinito" () cuando toma valores negativos tan pequeños como queramos.
- A veces te podrás encontrar también la expresión " tiende a infinito" () cuando tiende, indistintamente, a o a , aunque también hay quien la usa en lugar de .
Límite de de una función en un punto
El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tenerlo bien claro.
Definición informal de límite
De manera informal, diremos que una función "tiene límite" en , o que "tiende a" cuando se acerca a , si se puede hacer que esté tan cerca como queramos de , haciendo que esté suficientemente cerca de , pero sin llegar a .
Definición formal de límite
Los conceptos "cerca" y "suficientemente cerca" son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos.
Sea una función con dominio y sea un punto de acumulación de . Diremos que el límite de una función , cuando tiende a , es , si y sólo si, para todo , existe un , tal que para todo número real del dominio de la función, si , entonces .
Es decir,
Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.
Observaciones:
- Para entender bien el concepto de límite, recuérdese la definición de distancia entre dos puntos de la recta real, según la cual, .
- Decir que es un punto de acumulación del dominio de la función equivale a decir que cualquier intevalo abierto de centro contiene a puntos del dominio de la función distintos de , o dicho informalmente, que nos podemos acercar a tanto como queramos mediante puntos del dominio distintos de .
- Exigir que sea punto de acumulación del dominio es necesario para que la definición tenga sentido. En caso contrario, no podríamos hablar de valores de "suficientemente cerca" de cuyas imágenes están tan "cerca" de como se desee.
- Es muy importante observar que no tiene por qué pertenecer al dominio de la función para poder hablar de límite cuando x tiende a . Es decir, podemos calcular el límite en un punto en el que la función no esté definida.
El teorema de unicidad provee de una valiosa herramienta para refutar la existencia de límites.
Funciones sin límite en un punto
Función sin límite
La función de Dirichlet, definida como:
tiene la peculiaridad de que, para cualquier valor de su dominio, el no existe.
Límites laterales
Dicho de otro modo, si los límites laterales no son iguales, entonces el límite no existe. El hecho de que el límite no sea el mismo en todo entorno del punto implica que no es único, por esta razón es que no existe. |
Límites infinitos
Existen varios casos de límites de funciones que involucran la noción del infinito, definiremos cada uno de ellos en las secciones siguientes.
Variable que tiende a infinito
Límite en el infinito:
- .
- .
- .
Función que tiende a infinito
Límite infinito:
- .
- .
- .
Cuando una función tiende a infinito en un punto determinado c del dominio, la recta que determina la ecuación x = c, es decir, todo punto de la forma , se denomina asíntota vertical de la función. Para el ejemplo dado, x = 0 es la asíntota vertical.
El hecho de que no implica que sea posible la división por cero. Según la definición de este límite, , con lo cual, . En definitiva, es decir, está expresión es indefinida.
Tomemos otro ejemplo, la función logaritmo natural.
Recurrimos al límite lateral ya que el logaritmo sólo está definido para x > 0 en los reales. Plantilla:Demostración Esta función tiene una asíntota vertical x = 0, igual que la anterior.
Ambos casos
thumb|A medida que tomamos M cada vez más grande, podemos establecer R de modo que f supere a M en valor absoluto cuando lo hace x, con respecto a R. Pueden darse ambos casos al mismo tiempo, por ejemplo, cualquier función polinómica de x tiende a infinito, cuando x tiende a infinito. En este tipo de casos definiremos al límite como sigue. Plantilla:Definición Tomemos como ejemplo a la función afín f(x) = 3x − 5, que es un caso particular de función polinómica. Siendo su gráfica una recta, intuitivamente podemos imaginar que tomando puntos de x «muy grandes» o «muy pequeños» los valores de f(x), es decir, la «altura», se hace muy grande o pequeña con respecto a x. Plantilla:Demostración