Operaciones con números naturales (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Suma y resta de números naturales
2 Multiplicación o producto de números naturales
3 División de números naturales
4 Operaciones combinadas
- 4.1 Autoevaluación
- 4.2 Ejercicios propuestos
5 Calculadora
- 5.1 Suma, resta, multiplicación y división
- 5.2 Paréntesis

(Pág. 12)

Suma y resta de números naturales

Suma

Sumar es unir, juntar, añadir.
La suma de dos números naturales, a y b, se representa: a+b=c
a y b reciben el nombre de sumandos y el resultado, c, se denomina suma.

Suma de números naturales

Ejercicio 1 (4'05") Sinopsis:

Calcula:

a) $51+27\;$

b) $435+67\;$

c) $542+1287+79\;$

d) $51+27\;$

Ejercicio 2 (3'29") Sinopsis:

Calcula: $3081+56+310\;$

Ejercicio 3 (4'03") Sinopsis:

Calcula: $12187+1722+301+45\;$

Ejercicio 4 (3'17") Sinopsis:

Calcula: $4310+216+1062+6+55\;$

Actividades: Cálculo mental con sumas Descripción:

Cálculo mental con sumas.

Propiedades de la suma de números naturales

Propiedades de la suma

Operación interna: el resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.

$a, \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a + b \in \mathbb{N}$

Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

$a+b = b+a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el 0.

$0 + a = a \,$

Ejemplo:

Conmutativa:

$8 + 6 = 6 + 8\,$

$14 = 14\,$

Asociativa:

$( 3 + 2 ) + 6 = 3 + ( 2 + 6 )\,$

$5 + 6 = 3 + 8\,$

$11 = 11\,$

Propiedades asociativa y conmutativa de la suma (8'21") Sinopsis:

A look behind the fundamental properties of the most basic arithmetic operation, addition.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Autoevaluación: Propiedades de la suma de números naturales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de la suma de números naturales.

Resta

Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra, es decir, calcular la diferencia.
La resta de dos números naturales, a y b, se representa: a-b=c
a es el minuendo, b el sustraendo y c la diferencia.

La resta de números naturales no cumple las propiedades de la suma:

No es operación interna: $1-3 \notin \mathbb{N}$ .
No cumple la propiedad conmutativa: $5-2 \ne 2-5$
Ni la asociativa: $4-(3-2) \ne (4-3)-2$

Resta de números naturales

Ejercicio 1 (5'38") Sinopsis:

Calcula:

a) $486-144\;$

b) $4542-768\;$

Ejercicio 2 (3'10") Sinopsis:

Calcula: $9282-3521\;$

Ejercicio 3 (4'25") Sinopsis:

Calcula: $12504-9377\;$

Ejercicio 4 (4'39") Sinopsis:

Calcula: $10000-9112\;$

Suma y resta de números naturales. Propiedades Descripción:

Practica con las operaciones de suma y resta de números naturales y con sus propiedades.

Actividades: Cálculo mental con restas Descripción:

Cálculo mental con restas.

Autoevaluación: Resta de números naturales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la resta de números naturales.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Sumas y restas

(Pág. 12)

4, 5

1, 2

(Pág. 13)

Multiplicación o producto de números naturales

Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.

Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
Dados dos números naturales a y b, su producto se representa $a \cdot b = c$ .
a y b se llaman factores y c se denomina producto.

Ejemplo

Si un comerciante vende 5 equipos de sonido a 250 € cada uno, el dinero que ingresa es:

$250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 250 \cdot 5 = 1250$ €

Multiplicación de números naturales

Ejercicio 1 (5'00") Sinopsis:

Calcula:

a) $457 \cdot 6\;$

b) $5236 \cdot 25\;$

Ejercicio 2 (2'16") Sinopsis:

Calcula: $5216 \cdot 4\;$

Ejercicio 3 (2'51") Sinopsis:

Calcula: $16349 \cdot 8\;$

Ejercicio 4 (5'29") Sinopsis:

Calcula: $3477 \cdot 27\;$

Ejercicio 5 (5'58") Sinopsis:

Calcula: $73914 \cdot 83\;$

Ejercicio 6 (6'33") Sinopsis:

Calcula: $26715 \cdot 317\;$

Ejercicio 7 (5'52") Sinopsis:

Calcula: $723190 \cdot 529\;$

Actividades: Cálculo mental con multiplicaciones Descripción:

Cálculo mental con multiplicaciones.

Propiedades de la multiplicación de números naturales

Propiedades de la multiplicación

Operación interna: El producto de dos números naturales es otro número natural:

$a , \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{N}$

Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

$a \cdot b = b \cdot a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o rsta) de los productos del número por cada sumando.

$a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c$

Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

$1 \cdot a = a \,$

Ejemplo:

Conmutativa:

$8 \cdot 6 = 6 \cdot 8\,$

$48 = 48\,$

Asociativa:

$( 3 \cdot 2 ) \cdot 6 = 3 \cdot ( 2 \cdot 6 )\,$

$6 \cdot 6 = 3 \cdot 12\,$

$36 = 36\,$

Distributiva:

$3 \cdot (2 + 6) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 6 \,$

$3 \cdot 8 = 6 + 18 \,$

$24 = 24\,$

Propiedad conmutativa de la multiplicación (6'23") Sinopsis:

The commutative property is common to the operations of both addition and multiplication and is an important property of many mathematical systems.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Propiedades asociativa y distributiva de la multiplicación (5'23") Sinopsis:

A look at the logic behind the associative and distributive properties of multiplication.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Ejemplo: Propiedad distributiva del producto

Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?

Solución:

Podemos resolver el problema de dos formas:

Primera forma:

Alfredo-----> $15 \cdot 4 = 60$

Teresa------> $15 \cdot 2 = 30$

Total---------> $15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 = 60 + 30= 90\,$ €

Segunda forma:

Alfredo y Teresa compran 4 + 2 entradas

Luego en total gastan entre los dos: $15 \cdot (4 + 2 )= 15 \cdot 6 = 90$ €

Propiedad distributiva y extracción de factor común (7'08") Sinopsis:

Ejemplos de uso de la propiedad distributiva y de cómo se saca factor común.

Autoevaluación: Propiedades del producto de números naturales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades del producto de números naturales.

Producto por 10, 100, 1000, ....

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).

Ejemplos

$12 \cdot 10 = 120$
$12 \cdot 100 = 1200$
$12 \cdot 1000 = 12000$

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Multiplicación

(Pág. 13)

7, 10, 11

(Pág. 14-15)

División de números naturales

Sean $D\;$ y $d\;$ dos números naturales, con $d \ne 0$ .

La división o cociente de entre consiste en ver cuantas veces está contenido en .
- Se representa por $D : d=c\;$ .
- A $D\;$ lo llamaremos dividendo, a $d\;$ divisor y al resultado de la división, $c\;$ , cociente.

Vamos a distinguir dos casos:
- Si $d\;$ está contenido en $D\;$ un número "exacto" de veces (el cociente, $c\;$ , es un número natural tal que $D=d \cdot c\;$ ), diremos que la división es exacta.
- En caso contrario diremos que la división es entera. Si ocurre esto, es posible encontrar un número natural $r\;$ , menor que $d\;$ , de manera que si dividimos $D-r\;$ entre $d\;$ , la división es exacta. A dicho número $r\;$ lo llamaremos resto o residuo de la división.

20:4 = 5

Algoritmo de la división

Dados $D\;\!$ y $d\;\!$ , dos números naturales cualesquiera, existen dos únicos números naturales, $c\;\!$ y $r\;\!$ , tales que:

$D=d \cdot c + r$

$D\;\!$ es el dividendo, $d\;\!$ el divisor, $c\;\!$ el cociente y $r\;\!$ el resto.

Demostración:

Ver demostración en Wikipedia

Plantilla:Propiedades division naturales

Actividades: Cálculo mental con divisiones Descripción:

Actividades: La división entera Descripción:

Cálculo con divisiones.

División

Actividad: Cociente y resto

Calcula:

a) El cociente de dividir 123 entre 20.

b) El resto de dividir 123 entre 20.

c) Comprueba que se cumple el algoritmo de la división con los apartados anteriores.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Quotient[123,20]

b) Remainder[123,20]

c) 123=20*Quotient[123,20]+Remainder[123,20]

División de números naturales

División de números naturales (7'08") Sinopsis:

División de números naturales. Algoritmo de la división. Ejemplos.

Dividir por una cifra (10'45") Sinopsis:

Aprende a dividir por una cifra

Dividir por dos cifra (8'09") Sinopsis:

Aprende a dividir por dos cifras

División de números naturales Descripción:

Videotutoriales para aprender a dividir por 1, 2 o 3 cifras.

Cociente por defecto y por exceso

Ejemplo: Cociente por defecto y por exceso

Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.

a) ¿Cuántos taxis completarán?

b) ¿Cuántos taxis se necesitan?

c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?

Solución:

a) Completan 10 taxis y sobran 3 turistas. ( $43= 10 \cdot 4 + 3$ )
b) Se necesitan 11 taxis, aunque en el último taxi quede un asiento libre.

c) El cociente por defecto sería 10 y el cociente por exceso sería 11.

Propiedades de la división de números naturales

Propiedades

La división de de números naturales no siempre es un número natural
La división no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.
Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.

Ejemplo:

Hagamos la división $360 : 50 \;$

$360 =50 \cdot 7 + 10 \;$ (Cociente=7; Resto=10)

Ahora dividimos el dividendo y el divisor por 10:

$360:10=36 \, ; \qquad 50:10=5 \;$

y volvemos a hacer la división:

$36 = 5 \cdot 7 + 1 \;$ (Cociente=7; Resto=1)

Es decir, el cociente no varía y el resto queda dividido por 10.

Multiplicación y división de números naturales. Propiedades Descripción:

Practica con las operaciones de multiplicación y división de números naturales y con sus propiedades.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: División

(Pág. 15)

14, 16, 19

12, 15, 17, 18

(Pág. 16-17)

Operaciones combinadas

Jerarquía de las operaciones

Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:

Las multiplicaciones y las divisiones.
Las sumas y las restas.

Observaciones:

Cuando aparecen paréntesis dentro de otros paréntesis, se puede optar por cambiar los paréntesis más exteriores por corchetes, con el fin de facilitar la lectura de la operación.
Cuando resuelvas los paréntesis puedes completar las operaciones que encierren o aplicar la propiedad distributiva.
En cada uno de los pasos que des para resolver una expresión con operaciones combinadas se puede llevar a cabo más de una operación, siempre que no suponga romper el orden que acabamos de establecer.
No se incluyen las potencias ni las raíces en este esquema, pues estas operaciones se veran en otro tema. Lo que haremos será resolverlas después de resolver los paréntesis, antes de las multiplicaciones y divisiones.

Ejemplo:

Efectúa las siguientes operaciones combinadas: $8+4 \cdot (5-2)$