Ecuaciones de segundo grado. Resolución (2º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Ecuación de segundo grado
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Resolución de ecuaciones de segundo grado
- 2.1 Ecuación de segundo grado completa
- 2.2 Ecuación de segundo grado incompleta

(Pág. 148)

Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita, $x\;\!$ , es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.

Ejemplos

$2x+3x^2=1-x\;$ es una ecuación de segundo grado completa, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: $3x^2+3x-1=0\;$
$2x+3x^2=2x-3\;$ es una ecuación de segundo grado incompleta, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: $3x^2+3=0\;$
$2x+3x^2+1=1-x\;$ es una ecuación de segundo grado completa, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: $3x^2+3x=0\;$
$2x+3x^2=1+3x^2\;$ no es una ecuación de segundo grado, ya que al reducirla resulta una ecuación de primer grado: $2x-1=0\;$

La ecuación de segundo grado (3´38") Sinopsis:

Definición de ecuación de segundo grado.

La ecuación de segundo grado Descripción:

Actividades en la que aprenderás a identificar los coeficientes de una ecuación de segundo grado y a determinar si es completa o incompleta.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ecuaciones

(Pág. 148)

1, 2

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Ecuación de segundo grado completa

Fórmula general

Las soluciones de la ecuación de segundo grado

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

son:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

donde el signo $(\pm)$ significa que una solución se obtiene con el signo $(+)\;\!$ y otra con el signo $(-)\;\!$ .

Demostración:

A continuación tienes la demostración en videtutorial y por escrito:

Demostración

Demostración 1 (1'00") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 2 (10'05") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 3 (7'48") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 4 (9'13") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración:

1. Se divide la ecuación por $a\;\!$ :

$x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0$

2. Se multiplica y divide por $2\;\!$ el coeficiente de la $x\;\!$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0$

3. Se suma a los dos miembros de la igualdad $\cfrac{b^2}{4a^2}$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}$

4. Se pasa restando a la derecha $\cfrac{c}{a}$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}$

5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de $\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2$ :

$\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}$

6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:

$x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}$

7. Se despeja x:

$x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}$

8. Se simplifica la expresión:

$x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado resueltas

En la escena, pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos.

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula

Tutorial 1 (cómo usar la fórmula) (7'37") Sinopsis:

Cómo utilizar la fórmula general de la ecuación de segundo grado.

Tutorial 2 (8'37") Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 3 (14'06") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica la resolución de ecuaciones de 2º grado aplicando la fórmula general de resolución.

Tutorial 4 (16'33") Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 5a (8'34") Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 5b (13'08") Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Ejercicio 1 (3'17") Sinopsis:

Escribe en forma general e identifica los coeficientes "a", "b", y "c": $6 x 2 + 3 = 2 x - 6$ .

Ejercicio 2 (8'38") Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: $- x 2 + 8 x = 1$ .

Ejercicio 3 (4'53") Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: $- 3 x 2 + 10 x - 3 = 0$ .

Ejercicio 4 (6'58") Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: $- 7 q 2 + 2 q + 9 = 0$ .

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula

Actividad 1 Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Actividad 2 Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 1 Descripción:

Resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 3 Descripción:

Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
Copia la ecuación en tu cuaderno y halla sus soluciones.
Escribe el "tipo de solución" y las soluciones en los cuadros correspondientes. Luego pulsa el botón "Solución".

Ejercicios Descripción:

Ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado completas.