Plantilla:Factorización de polinomios (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Divisibilidad de polinomios
2 Raíces de un polinomio
3 Factorización de polinomios
4 Ejercicios propuestos
5 Ejercicios y videotutoriales

Divisibilidad de polinomios

(pág. 74)

Polinomios múltiplos y divisores

Un polinomio $Q(x)\,$ es divisor de otro, $P(x)\,$ y lo representaremos por $Q(x)|P(x)\;$ , si la división $P(x):\,Q(x)\,$ es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio $C(x)\;$ tal que $P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,$ .

En tal caso, diremos que $P(x)\,$ es divisible por $Q(x)\,$ y que $P(x)\,$ es un múltiplo de $Q(x)\,$ .
También diremos que $Q(x)\,$ y $C(x)\,$ son factores del polnomio $P(x)\,$ .

Ejemplo

Dados los polinomios:

$P(x)=(3x^3-14x^2+4x+3) \, , \quad Q(x)=(3x+1) \, , \quad C(x)=x^2-5x+3$ :

Se cumple que

$Q(x)|P(x)\;$ , porque $P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,$ .

Es decir, la siguiente división es exacta:

$(3x^3-14x^2+4x+3):(3x+1)=x^2-5x+3\;$

porque:

$(3x+1) \cdot (x^2-5x+3) =3x^3-14x^2+4x+3$

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio $P(x)\,$ es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.

Ejemplos

Son polinomios irreducibles, entre otros:

Los de primer grado: $3x,\ x-3,\ 5x-3\ \;$
Los de segundo grado sin raíces: $x^2+1,\ 2x^2-3x+5 \;$

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Se dice que el polinomio $D(x)\;$ es el máximo común divisor de los polinomios $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ , y lo expresaremos:

$m.c.d \,[P(x), Q(x)]=D(x)\;$

si $D(x)\;$ es divisor de ambos y no existe otro polinomio que divida a ambos que tenga mayor grado que él.

Ejemplos

Dados los polinomios:

$P(x)=(x-1)^2 (x-3)\;$

$Q(x)=(x-1)^3 (x-3)^2 (x+1)\;$ :

Su máximo común divisor es:

$m.c.d \,[P(x), Q(x)]=(x-1)^2(x-3)\;$

Se dice que el polinomio $M(x)\;$ es el mínimo común múltiplo de los polinomios $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ , y lo expresaremos:

$m.c.m \,[P(x), Q(x)]=M(x)\;$

si $D(x)\;$ es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.

Ejemplos

Dados los polinomios:

$P(x)=(x-1)^2 (x-3)\;$

$Q(x)=(x-1)^3 (x-3)^2 (x+1)\;$ :

Su mínimo común múltiplo es:

$m.c.m \,[P(x), Q(x)]=(x-1)^3 (x-3)^2 (x+1)\;$

Raíces de un polinomio

Un número $a\,$ es una raíz o un cero de un polinomio $P(x)\,$ , si $P(a)\, = 0\,$ .

Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación $P(x)\,= 0\,$ .

Raíces de un polinomio (8'40") Sinopsis:

Raíces de un polinomio. Ejemplos.

Teorema del factor

$x=a\;$ es una raíz de un polinomio $P(x)\;$ si y solo si $(x-a)\;$ es un factor de dicho polinomio.

Demostración:

En efecto, si $x=a\;$ es una raíz de $P(x)\;$ , entonces $P(a)=0\;$ y, por el teorema del resto, el resto de dividir $P(x)\;$ entre $(x-a)\;$ es cero. Así $(x-a)\;$ es un factor de $P(x)\;$ .

El recíproco es trivial.

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Por el teorema del factor, encontrar las raíces del polinomio nos ayudará a factorizarlo.

Factorización de polinomios de grado 2

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado, $kx^2+mx+n\;$ , con raíces rales, $a\;$ y $b\;$ , se puede factorizar de la forma

$k(x-a)(x-b)\;$

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles

Factoriza los siguientes polinomios

a) $5x^2+5x-60\;$

b) $5x^3+5x^2-60x\;$

Solución:

El polinomio $5x^2+5x-60\;$ tiene dos raíces: $x_1=3,\ x_2=-4$ , que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado $5x^2+5x-60=0\;$ . Entonces:

$5x^2+5x-60=5(x-3)(x+4)\;$

El polinomio incompleto de grado 3, $5x^3+5x^2-60x\;$ , se puede descomponer de la siguiente manera:

$5x^3+5x^2-60x=x(5x^2+5x-60)=5x(x-3)(x+4)\;$

(Observa que primero hemos sacado factor común $x\;$ y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).

Factorización de polinomios de grado 2

Tutorial (8'02") Sinopsis:

Descomposición factorial de polinomios de grado 2 resolviendo la ecuación de segundo grado.

Ejercicio 1 (13'56") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado resolviendo la ecuación de 2º grado:

5a) $x^2-10x+25\;$

5b) $2x^2+2x-4\;$

Ejercicio 2 (8'51") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado resolviendo la ecuación de 2º grado:

5c) $3x^2-6x-9\;$

5d) $x^2+3x+2\;$

Ejercicio 3 (9'38") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado resolviendo la ecuación de 2º grado:

5e) $3x^2-3x-18\;$

5f) $-x^2+3x+10\;$

Ejercicio 4 (6'08") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado resolviendo la ecuación de 2º grado:

a) $x^2+5x+6\;$

b) $2x^2-7x-15\;$

c) $2x^2-18\;$

d) $-6x^2+6x\;$

Factorización de polinomios de grado 2

Actividad: Factorización de polinomios de grado 2

Factoriza los siguientes polinomios de grado 2 o reducibles a grado 2:

$a)\ 4x^2+4x+1 \;$

$b)\ x^2+x+1 \;$

$c)\ x^2-16x \;$

$d)\ 4x^2-25 \;$

$e)\ 5x^2+20 \;$

$f)\ 4x^4+x^2$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) factor 4x^2+4x+1

b) factor x^2+x+1

c) factor x^2-16x

d) factor 4x^2-25

e) factor 5x^2+20

f) factor 4x^4+x^2

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

(pág. 75)

Procedimiento para factorizar polinomios

Siempre que se pueda, sacaremos $x\;$ factor común.
Mediante la regla de Ruffini podremos buscar las raíces enteras o fraccionarias del polinomio y obtener la factorización.

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

En algunos casos, como en el de los polinomios bicuadrados, que son polinomios de la forma $ax^4+bx^2+c\;$ , si podremos hallarle las raices, resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.

Ejemplos: Factorización de polinomios bicuadrados

Factoriza el siguiente polinomio: $P(x)=x^4 - 7x^2 + 6 \;\!$

Solución:

Resolvemos la ecuación bicuadrada: $x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\!$

$x^4 - 7x^2 + 6 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-7y+6=0$

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=6 \rightarrow x= \pm \sqrt 6 \end{cases}$

Soluciones: $-1,\, 1,\, -\sqrt 6,\, \sqrt 6\,\!$

Entonces, la factorización del polinomio es la siguiente:

$P(x)=(x+1)(x-1)(x+\sqrt 6)(x-\sqrt 6)$

Factorización de polinomios de grado mayor que 2

Ejercicio 1 (9'08") Sinopsis:

Ejercicios del 4a-c: Sacar factor común en un polinomio.

Ejercicio 2 (10'44") Sinopsis:

Ejercicios 4d-f: Sacar factor común en un polinomio.

Ejercicio 3 (8'31") Sinopsis:

Ejercicio 4g-j: Sacar factor común en un polinomio.

Ejercicio 4 (7'51") Sinopsis:

Ejercicios 6a-c: Descomponer un binomio en producto de factores

Ejercicio 5 (8'38") Sinopsis:

Ejercicios 6d-f: Descomponer un binomio en el producto de sus factores.

Ejercicio 6 (8'58") Sinopsis:

Ejercicios 6g-j: Descomponer un binomio en el producto de sus factores.

Ejercicio 7 (10'03") Sinopsis:

Ejercicios 7a-b: Descomponer un polinomio en producto de factores

Ejercicio 8 (8'51") Sinopsis:

Ejercicios 7c-d: Descomponer un binomio en su producto de factores.

Ejercicio 9 (9'27") Sinopsis:

Ejercicios 7e-f: Descomponer un binomio en su producto de factores.

Factorización de polinomios bicuadrados

Actividad: Factorización de polinomios bicuadrados

a) Factoriza el polinomio $P(x)=x^4-5x^2+4\;$

b) Halla las raíces del polinomio $Q(x)=x^4-1\;$ y factorízalo.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) factor x^4-5x^2+4

b) roots x^4-1 o bien solve x^4-1=0 over the reals. Y para factorizarlo: factor x^4-1=0 as real

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

Factorización de un polinomio por Ruffini

Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.

Nota:

Cuando al aplicar la regla de Ruffini nos quede un polinomio de segundo grado en el cociente, en vez de seguir probando por Ruffini, es preferible aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado para obtener las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.

Ejemplo: Regla de Ruffini

Factoriza el siguiente polinomio:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!$

Solución:

Primero sacamos factor común $3x^2\,\!$ :

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 = 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)\,\!$

Ahora aplicamos Ruffini. Los divisores de $70\,\!$ son $1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 5,\ -5,\ \mbox{etc.}\,\!$

Empezaremos probando con el 1:

   | 1  -1  -39  109  -70
   |                   
  1|     1    0  -39   70
 --|----------------------
   | 1   0  -39   70  |0
                      |____

Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, $x=1\;$ y uno de los factores $(x-1)\;$ .

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

Seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz:

   | 1   0  -39   70
   |                   
  1|     1    1   38
 --|-----------------
   | 1   1   38 |108
                |____

El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:

   | 1   0  -39   70
   |                   
 -1|    -1    1   38
 --|-----------------
   | 1  -1  -38 |108
                |____

El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:

   | 1  0  -39   70
   |                   
  2|    2    4  -70
 --|----------------
   | 1  2  -35   |0
                 |____

Ya hemos encontrado otra raíz, $x=2\;$ , y el factor correspondiente, $(x-2)\;$ .

El polinomio quedará de la siguiente forma:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula de la ecuación de 2º grado:

$x^2+2x-35=0 \rightarrow x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4 \cdot (-35)}}{2}=\frac{-2 \pm 12}{2}=\begin{cases} x_1=-7 \\ x_2=5 \end{cases}$

Así, sus raíces son 5 y -7 y sus factores (x-5) y (x+7).

De esta manera:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x-5)(x+7)\,\!$

Con lo que queda descompuesto el polinomio.

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

Tutorial 1 (26'17") Sinopsis:

Método que nos permite factorizar polinomios de grado mayor que dos.

Tutorial 2 (9´55") Sinopsis:

Factorizar un polinomio P(x) es expresarlo como producto de otros de menor grado que él, y para ello hay que calcular los "ceros" de P(x), cosa no siempre fácil.
Si "a" es un "cero" de P(x) y C(x) es el cociente de la división P(x)/(x-a), entonces P(x) = (x-a).C(x).
Teorema de la factorización: si los coeficientes de un polinomio P(x) son números enteros, los ceros enteros de P(x) son divisores del término independiente de P(x).
Si la suma de los coeficientes de P(x) es 0, pues apostar tranquilamente la vida a que el número 1 es un "cero" de P(x); o sea, P(x) es divisible por (x-1).

Tutorial 3 (9'19") Sinopsis:

Cómo hacer una descomposición factorial de polinomios por Ruffini.

Ejercicio 1 (11´14") Sinopsis:

Factoriza los polinomios:

a) $P(x)=x^3-2x^2-x+2 \;$

b) $Q(x)=x^3-3x+2 \;$

Ejercicio 2 (9´29") Sinopsis:

Factoriza el polinomio $P(x)=x^4-5x^3+7x^2-5x+6 \;$

Ejercicio 3 (9´36") Sinopsis:

Factoriza el polinomio $P(x)=2x^5-10x^3+8x \;$

Ejercicio 4 (9´27") Sinopsis:

Factoriza el polinomio $P(x)=12x^3-4x^2-3x+1 \;$ sabiendo que sólo tiene raíces fraccionarias.

Ejercicio 5 (8'59") Sinopsis:

Hallar los puntos de intersección de las dos funciones polinómicas siguientes:

$f(x)=7x^3+3x^2-4x-2\;$