Plantilla:Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

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Una inecuación cuadrática con una incógnita es una inecuación en la que las expresiones matemáticas que intervienen en la desigualdad, son polinomios de segundo grado en una sola variable. En consecuencia, puede ponerse, mediante transformaciones, de alguna de estas formas:

$ax^2+bx+c<0 \ , \quad ax^2+bx+c \le 0 \ , \quad ax^2+bx+c>0 \ , \quad ax^2+bx+c \ge 0 \qquad (a \ne 0)$

Ejemplos

Son inecuaciones cuadráticas con una incógnita:

$3x^2+5x-2>0\;$

$2x^2-1 \le 2-x\;$

Tabla de contenidos

1 Resolución de inecuaciones cuadráticas con una incógnita
2 Sistemas de inecuaciones con una incógnita
3 Inecuaciones con fracciones algebraicas
4 Otras inecuaciones
5 Ejercicios

Resolución de inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Para resolver estas inecuaciones usaremos el método gráfico. Este método requiere que el miembro de la derecha de la inecuación sea cero, lo cual siempre se puede conseguir mediante transformaciones.

Inecuaciones cuadráticas

Tutorial (6'28") Sinopsis:

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 2a (21'11") Sinopsis:

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 2b (16'10") Sinopsis:

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Ejemplos.

Método: por intervalos (tabla de signos):

Ejercicio 1 (13'06") Sinopsis:

Resuelve:

a) $x^2-9 \ge 0\;$

b) $x^2+9 \ge 0\;$

c) $-x^2-9 \ge 0\;$

d) $-x^2+9 \ge 0\;$

Ejercicio 2 (4'36") Sinopsis:

Resuelve: $9-x^2 > 0\;$

Ejercicio 3 (5'17") Sinopsis:

Resuelve: $x^2-x \ge 20\;$

Ejercicio 4 (5'15") Sinopsis:

Resuelve: $5x-x^2 < 0\;$

Ejercicio 5 (6'26") Sinopsis:

Resuelve: $x^2-3x+6 \le 2x+2\;$

Ejercicio 6 (9'54") Sinopsis:

Resuelve: $6x^2-7x-3 \le 0\;$

Ejercicio 7 (8'31") Sinopsis:

Resuelve: $2x^2-5x-3 > 0\;$

Ejercicio 8 (5'47") Sinopsis:

Resuelve: $x(x-2) \ge 3\;$

Ejercicio 9 (11'49") Sinopsis:

Resuelve: $x(3x+2) > (x+2)^2\;$

Ejercicio 10 (8'22") Sinopsis:

Resuelve: $(x-5)(x-4) \le 6\;$

Método: analizando el signo de los factores / por intervalos:

Ejercicio 1a (9'32") Sinopsis:

Resuelve: $(x+2)(x-1)>0\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 1b (6'52") Sinopsis:

Resuelve: $(x+2)(x-1)>0\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 2a (6'52") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+5x+4<0\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 2b (7'07") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+5x+4<0\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 3a (8'45") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+2x \ge x+6\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 3b (7'50") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+2x \ge x+6\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 4a (7'10") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+5x-2 \le x-2\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 4b (7'18") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+5x-2 \le x-2\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 5a (7'44") Sinopsis:

Resuelve: $x^2 < 9\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 5b (7'22") Sinopsis:

Resuelve: $x^2 < 9\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 6a (8'53") Sinopsis:

Resuelve: $25 \ge 4x^2\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 6b (8'28") Sinopsis:

Resuelve: $25 \ge 4x^2\;$ analizando el signo por intervalos.

Inecuaciones cuadráticas

Actividad Descripción:

En la escena vamos a resolver la siguiente inecuación:

$x^2-5x+4<0\;$

Representamos la parábola $y=x^2-5x+4\;$ y nos fijamos para que valores de x, la gráfica está por debajo del eje X (es negativa).

En realidad basta hallar los puntos de corte con el eje X y determinar la dirección de las ramas a partir del signo del coeficiente de $x^2\;$ .

En este caso, los puntos de corte son $x_1=1\;$ y $x_2=4\;$ , soluciones de la ecuación de segundo grado

$x^2-5x+4=0\;$

y las ramas va hacia arriba porque el coeficiente de $x^2\;$ es positivo. Por tanto, las soluciones de la inecuación es: $x \in (1,4)\;$ .

Puedes cambiar los valores A, B y C para resolver gráficamente otras inecuaciones de segundo grado.

Autoevaluación Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones cuadráticas.

Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Actividad: Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Resuelve:

a) $x^2-5x+4 \le 0$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) x^2-5x+4 <= 0

Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Para resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita, hay que resolver cada inecuación por separado y finalmente seleccionar la solución común a ambas (intersección de los conjuntos solución de ambas).

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 2x-6 & < 0 \\ \; \, x+2 & \ge 0 \end{cases}$

Solución:

Resolvemos cada inecuación por separado:

$2x-6 < 0 \ \rightarrow \ 2x<6 \ \rightarrow \ x<3 \ \rightarrow \ x \in (- \infty, 3)$

$x+2 \ge 0 \ \rightarrow \ x \ge -2 \ \rightarrow \ x \in [-2, +\infty)$

La solución común es la intersección de los conjuntos solución de ambas inecuaciones: $x \in [-2, +\infty) \cap (- \infty, 3) \ \rightarrow \ x \in [-2,3)$

Solución: $x \in [-2,3)$

Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Tutorial 1 (5'09") Sinopsis:

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 2 (28'11") Sinopsis:

Todo lo que necesitas saber para resolver sistemas de inecuaciones (lineales o cuadráticas) de una variable. Tutorial que explica de forma completa la resolución de estos sistemas, resolviendo varios ejericios donde se aplica el algoritmo.

- 00:00 a 3:50: Definiciones y algoritmo de resolución.

- 3:50 a 28:11: Aplicación del algoritmo. Ejemplos resueltos.

Tutorial 3 (5'09") Sinopsis:

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Ejercicio 1 (5'14") Sinopsis:

Resuelve:

$\left . \begin{matrix} 5z+7 < 27 \\ 3x \le 18 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 2 (6'12") Sinopsis:

Resuelve:

$\left . \begin{matrix} 3y+7 < 2y \\ 4y+8 > -48 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 3 (3'11") Sinopsis:

Resuelve:

$\left . \begin{matrix} 5x-3 < 12 \\ 4x+1 > 25 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 4 (5'07") Sinopsis:

Resuelve:

$-16x \le 3x+5 \le 20\;$

Ejercicio 5 (13'12") Sinopsis:

Resuelve:

a) $-5 \le x-4 \le 13\;$

b) $-12 \le 2-5x \le 7\;$

c) $4x-1 \ge 7\;$ ó $\cfrac{9x}{2} < 3\;$

Ejercicio 6 (5'49") Sinopsis:

Resuelve:

$\left . \begin{matrix} y \le 2-x \\ y \le x+2 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 7 (27'24") Sinopsis:

Resuelve:

a) $\left . \begin{matrix} x^2-11x+24 < 0 \\ x^2-8x+15 < 0 \end{matrix} \right \}$

b) $2x(x-3) \ge x(x-4)-1\;$

Problema (Programación lineal) (22'43") Sinopsis:

1 ejercicio.

Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Autoevaluación 1 Descripción:

Autoevaluación sobre desigualdades compuestas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Autoevaluación sobre sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Actividad: Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Resuelve:

a) $\begin{cases} 3x-9<0 \\ 2x+4 \ge 0 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^2-3x-4 \ge 0 \\ 2x-7>5 \end{cases}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 3x-9<0 ; 2x+4>=0 o bien solve 3x-9<0 ; 2x+4>=0

b) x^2-3x-4>=0, 2x-7>5

Inecuaciones con fracciones algebraicas

Inecuaciones con fracciones algebraicas

Tutorial 1 (20'29") Sinopsis:

Todo lo que necesitas saber para resolver inecuaciones con quebrados algebraicos. Tutorial que explica de forma completa la resolución de estas inecuaciones, empezando por comprender el estudio del signo de un quebrado, viendo su representación gráfica, y resolviendo varios ejercicios donde se aplica.

- 00:00 a 04:25: [Q(x) = (x+1)/(x-1)] Primer ejemplo estudiando el signo dando su gráfica.

- 4:25 a 10:10: [Q(x) = (x^2-2x)/(x+4)]

- 10:10 a 13:30: [Q(x) = (x^2+2x+1)/(x^2-9)]

- 13:30 a 14:10: [Q(x) = (x^2+2x+1)/(x^2-9)]

- 14:10 a 20:29: [Q(x) = (x-2)/5 - 2/(x+1)]

Tutorial 2a (14'08") Sinopsis:

Inecuaciones racionales. Ejemplos.

Tutorial 2b (9'34") Sinopsis:

Inecuaciones racionales. Ejemplos.

Tutorial 2c (14'30") Sinopsis:

Inecuaciones racionales. Ejemplos.

Ejercicio 1 (6'10") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{x-3}{x+1}>0\;$

Ejercicio 2 (6'40") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{x+2}{x-4} \le 0\;$

Ejercicio 3 (4'30") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{3}{x-4} > 0\;$

Ejercicio 4 (5'15") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{2x}{x-2} > 3\;$

Ejercicio 5a (5'27") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{x+4}{x-2} \ge 3\;$

Ejercicio 5b (4'59") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{x+4}{x-2} \ge 3\;$

Ejercicio 6 (16'56") Sinopsis:

Resuelve:

$1+\cfrac{2}{x+1} -\cfrac{2}{x} \le 0\;$

Ejercicio 7 (13'10") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{x+1}{x-6} < 7\;$

Ejercicio 8 (13'39") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{1}{x+2} \ge \cfrac{1}{3-x}\;$

Ejercicio 9 (8'28") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{5}{4x-3} > 2\;$

Ejercicio 10 (3'05") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{3}{2x-5} \le 0\;$

Ejercicio 11 (6'14") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{x-2}{2x-5} < 0\;$

Ejercicio 12 (10'10") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{3}{x+1} \ge \cfrac{2}{x-2}\;$

Ejercicio 13 (5'17") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{3x-1}{2x+5} \le 0\;$

Otras inecuaciones

Inecuaciones polinómicas

Tutorial 1 (38'35") Sinopsis:

Todo lo que necesitas saber para resolver inecuaciones polinómicas de cualquier grado. Tutorial que explica de forma completa la resolución de estas inecuaciones, empezando por comprender el estudio del signo de un polinomio y resolviendo varios ejericios donde se aplica.

- 00:00 a 01:30: Introducción.

- 1:30 a 10:10: Estudio del Signo de un Polinomio dada su gráfica.

- 10:10 a 17:45: Ejemplo de introducción al algoritmo.

- 17:45a 19:30: Algoritmo de resolución de inecuaciones polinómicas.

- 19:30 a 38:35: Aplicación del algoritmo. Ejemplos resueltos.

Tutorial 2a (12'20") Sinopsis:

Inecuaciones polinómicas. Ejemplos.

Tutorial 2b (12'34") Sinopsis:

Inecuaciones polinómicas. Ejemplos.

Inecuaciones con valor absoluto

Tutorial 1a (10'39") Sinopsis:

Inecuaciones con valor absoluto. Ejemplos.