Funciones trigonométricas o circulares (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Funciones trigonométricas
2 Línea media, amplitud y período de las funciones trigonométricas
3 Transformaciones de funciones trigonométricas
4 Modelando con funciones trigonométricas
5 Actividades y videotutoriales

Funciones trigonométricas

Vamos a estudiar las funciones que se obtienen a partir de las razones trigonométricas de un ángulo x al hacer variar éste. Dicho ángulo se suele expresar en radianes.

Funciones trigonométricas Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan las funciones trigonométricas.

Gráficas de las funciones seno y coseno (9'04") Sinopsis:

Estudio gráfico de las funciones seno y coseno.

Función seno

Se define la función seno como

$f(x)=sen(x) \, , \ x \in \mathbb{R}$

Propiedades de la función seno

Dominio: $\mathbb{R}$
Recorrido: $[-1, 1]\,$
Periodicidad: Es periódica, con período $2 \pi \,$ .
Continuidad: Es continua en su dominio, $\mathbb{R}$ .
Simetrías: Es impar, pués $sen(-x)=-sen(x)\,$
Cortes con eje X: $\left \{ x=0+ \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Máximos: $\left \{ x=\pi / 2+2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Mínimos: $\left \{ x=3 \pi /2 +2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Crecimiento:
- Crece en $\big( 3 \pi / 2+2 \pi (k-1) , \, \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}$ .
- Decrece en $\big( \pi / 2+2 \pi k , \, 3 \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}$ .

Función seno (sinusoide).

Los valores en el eje x están expresados en radianes

La función seno

Tutorial 1 (23'02") Sinopsis:

Definición, representación y análisis de la función seno.

Tutorial 2 (27'53") Sinopsis:

Definición, representación y análisis de la función seno. Ejercicios.

Tutorial 3 (9'23") Sinopsis:

Dominio, rango y representación de la función seno.

Función coseno

Se define la función coseno como

$f(x)=cos(x) \, , \ x \in \mathbb{R}$

Propiedades de la función coseno

Dominio: $\mathbb{R}$
Recorrido: $[-1, 1]\,$
Periodicidad: Es periódica, con período $2 \pi \,$ .
Continuidad: Es continua en su dominio, $\mathbb{R}$ .
Simetrías: Es par, pués $cos(-x)=cos(x)\,$
Cortes con eje X: $\left \{ x=\pi /2 + \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Máximos: $\left \{ x=2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Mínimos: $\left \{ x=\pi (2k+1) \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Crecimiento:
- Crece en $\big( \pi (2k-1) , \, 2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}$ .
- Decrece en $\big( 2 \pi k , \, \pi (2k+1) \big), \ k \in \mathbb{Z}$ .

Función coseno (cosinusoide).

Los valores en el eje x están expresados en radianes

La función coseno

Tutorial 1 (26'21") Sinopsis:

Definición, representación y análisis de la función coseno.

Tutorial 2 (30'13") Sinopsis:

Definición, representación y análisis de la función coseno. Ejercicios.

Función tangente

Se define la función coseno como

$f(x)=tg(x) \, , \quad x \in \mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$

Propiedades de la función tangente

Dominio: $\mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Recorrido: $\mathbb{R}$
Periodicidad: Es periódica, con período $\pi \,$ .
Continuidad: Es continua en su dominio. Tiene discontinuidades en $\left \{ x=\pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Simetrías: Es impar, pués $tg(-x)=-tg(x)\,$
Cortes con eje X: $\left \{ x=k \pi , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Máximos: No tiene
Mínimos: No tiene
Crecimiento: Creciente en cada intervalo que compone sus dominio.

Función tangente.

Los valores en el eje x están expresados en radianes

La función tangente

Tutorial 1 (26'00") Sinopsis:

Definición, representación y análisis de la función tangente. Ejercicios.

Tutorial 2 (10'13") Sinopsis:

Representación de la función tangente

Línea media, amplitud y período de las funciones trigonométricas

Línea media, amplitud y período de funciones trigonométricas

Tutorial 1 (5'26") Sinopsis:

Línea media, amplitud y periodicidad de las funciones sinusoidales.

Tutorial 2 (Periodicidad) (14'00") Sinopsis:

Estudio de la periodicidad de las funciones trigonométricas directas e inversas.

Amplitud y período de la función seno (40'12") Sinopsis:

Amplitud y periodo de la función seno.

Amplitud de la función coseno (34'39") Sinopsis:

Amplitud de la función coseno.

Período de la función coseno (35'01") Sinopsis:

Período de la función coseno.

Ejercicio (8'23") Sinopsis:

Determina la amplitud y el período de la función $y=-\cfrac{1}{2}\,cos\,(3x)$ .

Línea media y amplitud de funciones trigonométricas

Actividad Descripción:

Repaso sobre línea media, amplitud y periodo de funciones sinusoidales.

Autoevaluación 1 Descripción:

La línea media de funciones sinusoidales a partir de sus gráficas.

Autoevaluación 2 Descripción:

La amplitud de funciones sinusoidales a partir de sus gráficas.

Autoevaluación 3 Descripción:

Línea media de funciones sinusoidales a partir de sus ecuaciones.

Autoevaluación 4 Descripción:

Amplitud de funciones sinusoidales a partir de sus ecuaciones.

Autoevaluación 5 Descripción:

El periodo de funciones sinusoidales a partir de sus gráficas.

Autoevaluación 6 Descripción:

Periodo de funciones sinusoidales a partir de sus ecuaciones.

Más información en: Periodo de las funciones trigonométricas

Transformaciones de funciones trigonométricas

Traslaciones

Translación vertical de una función seno (15'39") Sinopsis:

Representa la función: $f(x)=2+sen(x)\;$ .

Translación vertical de una función coseno (14'01") Sinopsis:

Representa la función: $f(x)=1+cos(x)\;$ .

Traslación horizontal de una función coseno (16'45") Sinopsis:

Representa la función: $f(x)=cos(2x+ \cfrac{\pi}{2})$ .

Traslación horizontal de una función seno (19'09") Sinopsis:

Representa la función: $f(x)=sen(2x+ \cfrac{\pi}{2})$ .

Dilataciones y contracciones

Dilataciones y contracciones horizontales de una función coseno (35'01") Sinopsis:

Representa las funciones:

1) $f(x)=cos(2x)\;$

2) $f(x)=cos(\cfrac{x}{2})\;$

Dilataciones y contracciones verticales de una función coseno (34'39") Sinopsis:

Representa las funciones:

1) $f(x)=2\,cos(x)\;$

2) $f(x)=\cfrac{1}{2}\,cos(x)\;$

Dilataciones y contracciones de una función seno (40'12") Sinopsis:

Representa las funciones:

1) $f(x)=2\,sen(x)\;$

2) $f(x)=sen(2x)\;$

2) $f(x)=3\,sen(\cfrac{x}{2})\;$

Ejercicios

Ejercicio 1 (12'54") Sinopsis:

Representa la función: $y=2\,sen(-x)\;$ en el intervalo $\left[ -2\pi, 2\pi \right]$ .

Ejercicio 2 (10'44") Sinopsis:

Representa la función: $y=-2.5\,cos(\cfrac{1}{3}\,x)\;$ en el intervalo $\left[ 0, 6\pi \right]$ .

Transformaciones de funciones trigonométricas

Autoevaluación 1 Descripción:

Grafica funciones sinusoidales en la cuadrícula interactiva.

Autoevaluación 2 Descripción:

Grafica funciones sinusoidales en la cuadrícula interactiva (desplazamiento de fase).

Más información en:

Transformaciones elementales de funciones

Transformaciones de funciones trigonométricas

Modelando con funciones trigonométricas

Más información en: Modelando con funciones trigonométricas

Actividades y videotutoriales

Ejercicio (11'09") Sinopsis:

Averigua los puntos de intersección de las funciones seno y coseno en el primer giro.

Cálculo del ángulo conocidas sus razones (con gráficas) Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtiene el ángulo conocida una razón, de forma gráfica, utilizando la representación gráfica de las funciones trigonométricas.