Funciones trigonométricas o circulares (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Funciones trigonométricas
2 Línea media, amplitud y período de las funciones trigonométricas
3 Transformaciones de funciones trigonométricas
4 Modelando con funciones trigonométricas
5 Actividades y videotutoriales

Funciones trigonométricas

Vamos a estudiar las funciones que se obtienen a partir de las razones trigonométricas de un ángulo x al hacer variar éste. Dicho ángulo se suele expresar en radianes.

Funciones trigonométricas Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan las funciones trigonométricas.

Gráficas de las funciones seno y coseno (9'04") Sinopsis:

Estudio gráfico de las funciones seno y coseno.

Función seno

Se define la función seno como

$f(x)=sen(x) \, , \ x \in \mathbb{R}$

Propiedades de la función seno

Dominio: $\mathbb{R}$
Recorrido: $[-1, 1]\,$
Periodicidad: Es periódica, con período $2 \pi \,$ .
Continuidad: Es continua en su dominio, $\mathbb{R}$ .
Simetrías: Es impar, pués $sen(-x)=-sen(x)\,$
Cortes con eje X: $\left \{ x=0+ \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Máximos: $\left \{ x=\pi / 2+2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Mínimos: $\left \{ x=3 \pi /2 +2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Crecimiento:
- Crece en los intervalos $\big( 3 \pi / 2+2 \pi (k-1) , \, \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}$ .
- Decrece en los intervalos $\big( \pi / 2+2 \pi k , \, 3 \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}$ .

Función seno (sinusoide).

Los valores en el eje x están expresados en radianes

La función seno

Tutorial 1 (23'02") Sinopsis:

Definición, representación y análisis de la función seno.

Tutorial 2 (27'53") Sinopsis:

Definición, representación y análisis de la función seno. Ejercicios.

Tutorial 3 (9'23") Sinopsis:

Dominio, rango y representación de la función seno.

Función coseno

Se define la función coseno como

$f(x)=cos(x) \, , \ x \in \mathbb{R}$

Propiedades de la función coseno

Dominio: $\mathbb{R}$
Recorrido: $[-1, 1]\,$
Periodicidad: Es periódica, con período $2 \pi \,$ .
Continuidad: Es continua en su dominio, $\mathbb{R}$ .
Simetrías: Es par, pués $cos(-x)=cos(x)\,$
Cortes con eje X: $\left \{ x=\pi /2 + \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Máximos: $\left \{ x=2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Mínimos: $\left \{ x=\pi (2k+1) \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Crecimiento:
- Crece en los intervalos $\big( \pi (2k-1) , \, 2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}$ .
- Decrece en los intervalos $\big( 2 \pi k , \, \pi (2k+1) \big), \ k \in \mathbb{Z}$ .

Función coseno (cosinusoide).

Los valores en el eje x están expresados en radianes

La función coseno

Tutorial 1 (26'21") Sinopsis:

Definición, representación y análisis de la función coseno.

Tutorial 2 (30'13") Sinopsis:

Definición, representación y análisis de la función coseno. Ejercicios.

Función tangente

Se define la función coseno como

$f(x)=tg(x) \, , \quad x \in \mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$

Propiedades de la función tangente

Dominio: $\mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Recorrido: $\mathbb{R}$
Periodicidad: Es periódica, con período $\pi \,$ .
Continuidad: Es continua en su dominio. Tiene discontinuidades en $\left \{ x=\pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Simetrías: Es impar, pués $tg(-x)=-tg(x)\,$
Cortes con eje X: $\left \{ x=k \pi , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Máximos: No tiene
Mínimos: No tiene
Crecimiento: Creciente en cada intervalo que compone sus dominio.

Función tangente.

Los valores en el eje x están expresados en radianes

La función tangente

Tutorial 1 (26'00") Sinopsis:

Definición, representación y análisis de la función tangente. Ejercicios.

Tutorial 2 (10'13") Sinopsis:

Representación de la función tangente

Línea media, amplitud y período de las funciones trigonométricas

Línea media, amplitud y período de funciones trigonométricas

Tutorial 1 (5'26") Sinopsis:

Línea media, amplitud y periodicidad de las funciones sinusoidales.

Tutorial 2 (Periodicidad) (14'00") Sinopsis:

Estudio de la periodicidad de las funciones trigonométricas directas e inversas.

Amplitud y período de la función seno (40'12") Sinopsis:

Amplitud y periodo de la función seno.

Amplitud de la función coseno (34'39") Sinopsis:

Amplitud de la función coseno.

Período de la función coseno (35'01") Sinopsis:

Período de la función coseno.

Ejercicio (8'23") Sinopsis:

Determina la amplitud y el período de la función $y=-\cfrac{1}{2}\,cos\,(3x)$ .

Línea media y amplitud de funciones trigonométricas

Actividad Descripción:

Repaso sobre línea media, amplitud y periodo de funciones sinusoidales.

Autoevaluación 1 Descripción:

La línea media de funciones sinusoidales a partir de sus gráficas.

Autoevaluación 2 Descripción:

La amplitud de funciones sinusoidales a partir de sus gráficas.

Autoevaluación 3 Descripción:

Línea media de funciones sinusoidales a partir de sus ecuaciones.

Autoevaluación 4 Descripción:

Amplitud de funciones sinusoidales a partir de sus ecuaciones.

Autoevaluación 5 Descripción:

El periodo de funciones sinusoidales a partir de sus gráficas.

Autoevaluación 6 Descripción:

Periodo de funciones sinusoidales a partir de sus ecuaciones.

Más información en: Periodo de las funciones trigonométricas

Transformaciones de funciones trigonométricas

Para este apartado necesitarás ver primero: Transformaciones elementales de funciones.

Transformaciones de funciones trigonométricas

Traslaciones:

Translación vertical de una función seno (15'39") Sinopsis:

Representa la función: $f(x)=2+sen(x)\;$ .

Translación vertical de una función coseno (14'01") Sinopsis:

Representa la función: $f(x)=1+cos(x)\;$ .

Traslación horizontal de una función coseno (16'45") Sinopsis:

Representa la función: $f(x)=cos(2x+ \cfrac{\pi}{2})$ .

Traslación horizontal de una función seno (19'09") Sinopsis:

Representa la función: $f(x)=sen(2x+ \cfrac{\pi}{2})$ .

Dilataciones y contracciones:

Dilataciones y contracciones horizontales de una función coseno (35'01") Sinopsis:

Representa las funciones:

1) $f(x)=cos(2x)\;$

2) $f(x)=cos(\cfrac{x}{2})\;$

Dilataciones y contracciones verticales de una función coseno (34'39") Sinopsis:

Representa las funciones:

1) $f(x)=2\,cos(x)\;$

2) $f(x)=\cfrac{1}{2}\,cos(x)\;$

Dilataciones y contracciones de una función seno (40'12") Sinopsis:

Representa las funciones:

1) $f(x)=2\,sen(x)\;$

2) $f(x)=sen(2x)\;$

2) $f(x)=3\,sen(\cfrac{x}{2})\;$

Ejercicios:

Ejercicio 1 (12'54") Sinopsis:

Representa la función: $y=2\,sen(-x)\;$ en el intervalo $\left[ -2\pi, 2\pi \right]$ .

Ejercicio 2 (10'44") Sinopsis:

Representa la función: $y=-2.5\,cos(\cfrac{1}{3}\,x)\;$ en el intervalo $\left[ 0, 6\pi \right]$ .

Transformaciones de funciones trigonométricas

Autoevaluación 1 Descripción:

Grafica funciones sinusoidales en la cuadrícula interactiva.

Autoevaluación 2 Descripción:

Grafica funciones sinusoidales en la cuadrícula interactiva (desplazamiento de fase).

Más información en: Transformaciones de funciones trigonométricas

Modelando con funciones trigonométricas

En este apartado vamos a ver cómo se obtiene la expresión analítica de una función trigonométrica que nos permita representar una determinada situación, partiendo de cierta información verbal o gráfica.

Modelando con funciones trigonométricas

Ejercicio 1 (5'50") Sinopsis:

Escribe la ecuación de la función trigonométrica dada en el video.

Ejercicio 2 (10'56") Sinopsis:

En Johannesburgo, en junio, la temperatura mínima diaria usual es aproximadamente de 3ºC, y la temperatura máxima diaria alrededor de 18ºC. La temperatura se ubica justo a la mitad entre la máxima y la mínima diaria, tanto a las 10 a.m. como a las 10 p.m., alcanzándose la temperatura máxima por la tarde. Encuentra una función trigonométrica que modele la temperatura T en Johannesburgo a las t horas después de media noche.

Ejercicio 3a (7'10") Sinopsis:

El día más caluroso del año, en promedio, en Santiago de Chile, es el 7 de enero cuando la media de la temperatura máxima es de 29ºC. El día más frio del año tiene una temperatura máxima media de 14ºC.

Usa una función trigonométrica para modelar la temperatura en Santiago de Chile, usando 365 días como la duración de un año y partiendo del 7 de enero. Recuerda que el 7 de enero es verano en Santiago.

¿Cuántos días después del 7 de enero es el primer día de primavera cuando la temperatura máxima alcanza 20ºC?

Ejercicio 3b (8'23") Sinopsis:

Continuación del ejercicio anterior:

¿Cuántos días después del 7 de enero la temperatura máxima alcanza 20ºC (primer día de primavera)?

Ejercicio 4 (7'44") Sinopsis:

Modelar funciones sinusoidales con desplazamiento de fase:

El día más largo del año en Juneau, Alaska, es el 21 de junio, el cual dura 1096.5 minutos. Medio año después, cuando los días son más cortos, éstos duran alrededor de 382.5 minutos.

Sabiendo que no es un año bisiesto y el día 21 de junio es el día 172 del año, encuentra la función trigonométrica que modele la duración L del día t del año.

Modelando con funciones trigonométricas

Autoevaluación 1 Descripción:

Escribe la ecuación de la función trigonométrica correspondiente a unos datos dados.

Autoevaluación 2 Descripción:

Modelar con funciones sinusoidales.

Autoevaluación 3 Descripción:

Modelar con funciones sinusoidales con desplazamiento de fase.

Más información en: Modelando con funciones trigonométricas

Actividades y videotutoriales

Ejercicio (11'09") Sinopsis:

Averigua los puntos de intersección de las funciones seno y coseno en el primer giro.

Cálculo del ángulo conocidas sus razones (con gráficas) Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtiene el ángulo conocida una razón, de forma gráfica, utilizando la representación gráfica de las funciones trigonométricas.