Plantilla:Límite de funciones a trozos
De Wikipedia
A continuación vamos a ver cómo se estudian los límites de una función definida a trozos. Por simplicidad supondremos que la función consta de sólo dos trozos, pero el procedimiento es extensible a funciones definidas en más de dos trozos.
Procedimiento
Consideremos la siguiente función definida a trozos:
![f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \mbox{si }x < a \\ f_2(x) & \mbox{si }x>a \end{cases}](/wikipedia/images/math/9/c/8/9c803247b9318b867984321ef52043c9.png)
con y
continuas.
Para el estudio del consideraremos los siguientes casos:
- Si
, entonces
- Si
, entonces
- Si
, entonces es necesario calcular los límites laterales y si éstos coinciden existirá el límite. Para calcular los límites laterales procederemos como se indica a continuación:
Entonces, si , existirá el límite y será:
.
Ejemplo: Límite de una función definida a trozos. Estudio de la continuidad
Estudia la continuidad de la siguiente función:
![y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ 2x+1 & \mbox{si }x>1 \end{cases}](/wikipedia/images/math/7/7/3/773513f50fdb7cd43eb1c89c48b2a059.png)
Veamos primero como es la función en cada trozo:
- Si
,
es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en
, en particular en
.
- Si
,
es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en
, en particular en
.
Falta estudiar la continuidad en .
Recordemos que una función es continua en
si
![\lim_{x \to c} f(x)=f(c)](/wikipedia/images/math/0/c/3/0c373e48d6df16de85d88509e28a8ba2.png)
o equivalentemente, si
![\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x)=f(c)](/wikipedia/images/math/f/2/c/f2c0081f1c1fb17bfcacd5f60f43aa3b.png)
Calculemos los límites laterales y el valor de la función en :
.
Como , los límites laterales no coinciden y, por tanto, no existe el límite en
. En consecuencia, la función no es continua en
.
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Estudia la continuidad de la función:
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Comprueba que la siguiente función tiene una discontinuidad evitable:
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Comprueba que la siguiente función tiene una discontinuidad evitable:
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Estudia la continuidad de la función:
Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Estudia la continuidad de la función:
Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Estudia la continuidad de la función:
Ejemplo: Límite de una función definida a trozos con parámetros. Estudio de la continuidad
Halla el valor del parámetro "n" para que la función sea continua en toda la recta real:
![y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ 2x+n & \mbox{si }x>1 \end{cases}](/wikipedia/images/math/a/1/a/a1a6b426d0aba7a3b683acf929328bd3.png)
Veamos primero como es la función en cada trozo:
- Si
,
es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en
, en particular en
.
- Si
,
es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en
, en particular en
.
Falta estudiar la continuidad en .
Recordemos que una función es continua en
si
![\lim_{x \to c} f(x)=f(c)](/wikipedia/images/math/0/c/3/0c373e48d6df16de85d88509e28a8ba2.png)
o equivalentemente, si
![\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x)=f(c)](/wikipedia/images/math/f/2/c/f2c0081f1c1fb17bfcacd5f60f43aa3b.png)
Calculemos los límites laterales y el valor de la función en :
.
Para que los dos límites laterales coincidan con deberá ocurrir que:
![2+n = 1 \ \rightarrow \ n=-1](/wikipedia/images/math/d/4/7/d47e0903e5d7bf54479449ed256c040e.png)
Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Averigua los valores de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Averigua los valores de "m" para que la siguiente función sea continua en x=1.
Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Averigua los valores de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua en x=1:
Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Halla el valor de "h" para que la siguiente función se continua en el conjunto de los números reales:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Halla el valor de "a" y "b" para que la siguiente función se continua en el conjunto de los números reales:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Halla el valor de "a" y "b" para que las siguientes funciones sean continuas en el conjunto de los números reales:
- a)
- b)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Halla el valor de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua en el conjunto de los números reales: