Regla de Ruffini (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Cociente de monomios
2 División de polinomios
- 2.1 División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini.

Cociente de monomios

Entenderemos la división de monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.

$\frac{ax^m} {bx^n}= \frac{a} {b} x^{m-n}$

Ejemplos: Cociente de monomios

Calcula:

a) $4ax^4y^3 : 2x^2y \;\!$

b) $6x^4y : 2ax^3 \;\!$

Solución:

a) $4ax^4y^3 : 2x^2y = \cfrac {4ax^4y^3}{2x^2y}=2ax^2y^2$

b) $6x^4y : 2ax^3 =\cfrac {6x^4y}{2ax^3}=\cfrac {3xy}{a}$

División de polinomios

La división de polinomios tiene la mismas partes que la división aritmética. Dados dos polinomios $P(x)\;$ (dividendo) y $Q(x)\;$ (divisor) de modo que el grado de $P(x)\;$ sea mayor o igual que el grado de $Q(x)\;$ y el grado de $Q(x)\;$ sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios $C(x)\;$ (cociente) y $R(x)\;$ (resto) tales que:

$P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,$

dividendo = divisor × cociente + resto

que también podemos representar como:

$P(x) \,$		$Q(x) \,$
$R(x) \,$		$C(x) \,$

El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).
Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

Ejemplo: División de polinomios

Divide los siguientes polinomios:

$P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, x - 3\;$

$Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;$

Solución:

$3 \, x^{4} \;$	$- 2 \, x^{3} \;$	$+ 4 \, x^{2} \;$	$+ 2 \, x \;$	$- 3 \;$	$x^{2} \;$	$- 2 \, x \;$	$- 1 \;$
$- 3 \, x^{4} \;$	$+ 6 \, x^{3} \;$	$+ 3 \, x^{2} \;$			$3 \, x^{2} \;$	$+ 4 \, x \;$	$+ 15 \;$
	$4 \, x^{3} \;$	$+ 7 \, x^{2} \;$	$+ 2 \, x \;$	$- 3 \;$
	$- 4 \, x^{3} \;$	$+ 8 \, x^{2} \;$	$+ 4 \, x \;$
		$15 \, x^{2} \;$	$+ 6 \, x \;$	$- 3 \;$
		$- 15 \, x^{2} \;$	$+ 30 \, x \;$	$+ 15 \;$
			$36 \, x \;$	$+ 12 \;$