Algunos tipos de sucesiones (1ºBach)
De Wikipedia
Enlaces internos | Para repasar o ampliar | Enlaces externos |
Indice Descartes Manual Casio | WIRIS Geogebra Calculadoras |
Tabla de contenidos |
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, , que llamaremos diferencia.
Por ejemplo:
es una progresión aritmética con diferencia d=4.
Término general de una progresión aritmética
Término general de una progresión aritmética
Sean términos de una progresión aritmética de diferencia .
Entonces, se cumple que:
|
En efecto, razonando por inducción:
........................
|
Actividad Interactiva: Progresiones aritméticas
Actividad 1: Ejercicios de autoevaluación sobre progresiones aritméticas.
Actividad:
|
Suma de términos de una progresión aritmética
Suma de términos de una progresión aritmética
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
|
El porqué de esta fórmula se deduce de la siguiente historia:
- En un pequeño pueblo de Alemania, Brunswick, un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos uno de los alumnos levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente, así era.
- El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.
- Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüss. Fue uno de los mas grandes matemáticos. Intenta enterarte de algo más sobre él.
Demostración:
Para la demostración nos basaremos en el hecho de que:
Entonces, si efectuamos la siguiente suma:
-
- _______________________________________________________________
por tanto:
Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, , que llamaremos razón
Por ejemplo:
es una progresión geométrica de razón r=2.
Término general de una progresión geométrica
Término general de una progresión geométrica
Sean términos de una progresión geométrica de razón .
Entonces se cumple que:
|
En efecto, razonando por inducción:
........................
|
Actividad Interactiva: Progresiones geométricas
Actividad 1: Ejercicios de autoevaluación sobre progresiones geométricas.
Actividad:
|
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de términos de una progresión geométrica
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
|
Efectuamos la siguiente resta:
-
- ______________________________________________________________________________
por tanto:
y despejando
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que se obtiene así: <center>
|
La siguiente demostración usa el concepto de límite que aún no conoceis:
Vamos a partir de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica
y vamos a hacer que n tienda a infinito.
Como , cuando n tiende a infinito, tiende a cero.
Entonces, tiende a .
A ese valor límite de lo llamamosSucesiones de potencias
Sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:
Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:
Existe también una fórmula explícita, no recurrente, para el término general:
Término general de la sucesión de Fibonacci
El término general de la sucesión de Fibonacci es:
siendo el número áureo.
Puedes ver una demostración que se escapa aeste nivel en este enlace: enlace a wikipedia