Concepto de sucesión (1ºBach)
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Concepto de sucesión
Se llama sucesión a un conjunto ordenado de números. A los elementos de la sucesión se les llama términos. Los términos se representan con una misma letra y un subíndice que indica el lugar que ocupa en la sucesión.
![a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots](/wikipedia/images/math/b/6/b/b6b3983bf537eff7641a144e9af8d33c.png)
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
Ejemplo: Sucesión de Fibonacci y el número áureo
- El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:
- "Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"
- a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.
- b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo phi:
![\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...](/wikipedia/images/math/2/9/6/29613c82f9b0d1f051ee33004a2fdad4.png)
a) Sucesión de Fibonacci:
- Valor inicial: 1 pareja
- Mes 1: 1 pareja (hasta el segundo mes no se reproduce la primera)
- Mes 2: 2 parejas (Primera vez que se reproduce)
- Mes 3: 3 parejas (la primera pareja vuelve a reproducirse pero la segunda no lo hace hasta el próximo mes)
- Mes 4: 5 parejas (la primera y la segunda pareja ya se reproducen, la tercera aún no)
- Mes 5: 8 parejas (Se reproducen las 3 primeras parejas, las otras dos no)
- Mes 6: 13 parejas (Se reproducen las 5 parejas de hace 2 meses, pero las 3 nuevas del mes anterior aún no)
Así se obtiene una sucesión en la que cada término se obtiene a partir de la suma de los dos anteriores:
![1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots](/wikipedia/images/math/2/6/3/2637272e9b89a451884bf0203999b2d7.png)
b) Sucesión del número áureo:
Dividiendo cada término entre el anterior, tenemos:
![\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots](/wikipedia/images/math/4/2/f/42f48e88df031560abc1a5992e2c1313.png)
![1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi](/wikipedia/images/math/3/b/1/3b17212b81f45d9802f2e4793938cf92.png)
Término general de una sucesión
Se llama término general de una sucesión, y se simboliza por , a la expresión matemática que sirve para calcular cualquier término de la sucesión. Para ello, sustituiremos n en la expresión del término general por el índice del término que queramos averiguar.
Hay veces que el término general se puede expresar mediante una función: .
Otras veces, cada término de la sucesión se obtiene a aprtir de operaciones con otros términos anteriores. A estas sucesiones se les llama recurrentes.
Ejemplo: Término general de una sucesión
- Halla el término general de las siguientes sucesiones:
- a) 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
- b) 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
- c) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
a)
b)
![a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\;](/wikipedia/images/math/3/6/f/36f9269acf319d87e35f872d84755b68.png)