Factorización de polinomios (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Divisibilidad de polinomios
- 1.1 Polinomios múltiplos y divisores
- 1.2 Polinomios irreducibles
2 Factorización de polinomios
- 2.1 Factorización de polinomios de grado 2
- 2.2 Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

Divisibilidad de polinomios

Polinomios múltiplos y divisores

La divisibilidad en el conjunto de los polinomios es muy similar a la .

Un polinomio $D(x)\,$ es divisor de otro, $P(x)\,$ y lo representaremos por $P(x)|Q(x)\;$ , si la división $P(x):\,D(x)\,$ es exacta. Es decir, cuando

$P(x)=\,D(x)\cdot C(x)\,$

En tal caso, diremos que $P(x)\,$ es divisible por $Q(x)\,$ . También diremos que $P(x)\,$ es un múltiplo de $D(x)\,$ .

Ejemplos:

$(3x+1) \cdot (x^2-5x+3) =3x^3-14x^2+4x+3 \Rightarrow (3x^3-14x^2+4x+3):(3x+1)=x^2-5x+3$

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio $P(x)\,$ es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior es divisor suyo.

Ejemplos:

Son polinomios irreducibles, entre otros:

Los de primer grado: $3x,\ x-3,\ 5x-3\ \cdots \;$
Los de segundo grado sin raíces: $x^2+1,\ 2x^2-3x+5 \cdots \;$

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios de grado 2

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado, $kx^2+mx+n\;$ , con raíces rales, $a\;$ y $b\;$ , se puede factorizar de la forma

$k(x-a)(x-b)\;$

Demostración:

Ejemplos:

El polinomio $5x^2+5x-60\;$ tiene dos raíces: $x_1=3,\ x_2=-4$ , que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado $5x^2+5x-60=0\;$ . Entonces:

$5x^2+5x-60=5(x-3)(x+4)\;$

El polinomio incompleto de grado 3, $5x^3+5x^2-60x\;$ , se puede descomponer de la siguiente manera:

$5x^3+5x^2-60x=x(5x^2+5x-60)=5x(x-3)(x+4)\;$

(Observa que primero hemos sacado factor común $x\;$ y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

Siempre que se pueda, sacaremos x factor común.
Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz $x=a\;$ de un polinomio $P(x)\;$ , tendremos que $P(x)=(x-a)Q(x)\;$ , donde $Q(x)\;$ tiene un grado menos que $P(x)\;$ .
Si es un polinomio bicuadrado, ax^4+bx^2+c\;, podremos hallarle las raices resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.
Si un polinomio de grado mayor que 2 no puede factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con lo sconocimientos que tenemos.