Resolución de ecuaciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Ecuación de segundo grado
2 Ecuaciones bicuadradas
3 Ecuaciones con la x en el denominador
4 Ecuaciones con radicales
5 Ecuaciones factorizadas
6 Ecuaciones exponenciales
7 Ecuaciones logarítmicas

Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita, $x\;\!$ , es aquella que tiene la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

Resolución de la ecuación de segundo grado

Fórmula de la ecuación de segundo grado

Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

donde el signo $(\pm)$ significa que una solución se obtiene con el signo $(+)\;\!$ y otra con el signo $(-)\;\!$ .

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: Resolución de la ecuación de segundo grado

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado resueltas.

Solución:[Mostrar]

Discriminante de una ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado a:

$\triangle = b^2-4ac$

por tanto:

Si $\triangle <0$ la ecuación no tiene solución.
Si $\triangle >0$ la ecuación tiene dos soluciones.
Si $\triangle =0$ la ecuación tiene una solución (doble).

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado $ax^2+bx+c=0\;\!$ es incompleta, si ocurre uno de los siguientes casos:

$b=0\;\!$ : $(ax^2+c=0\;\!)$

En este caso las soluciones se obtienen despejando x:

$ax^2+c=0; \quad ax^2=-c; \quad x=-\cfrac{c}{a};\quad x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}$

$c=0\;\!$ : $(ax^2+bx=0\;\!)$

En este caso, sacando factor común e igualando a cero cada factor:

$ax^2+bx =0; \quad x \cdot (ax+b)=0 \quad \left \{ \begin{matrix} x_1=0 \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .$

Ejemplo: Ecuaciones de segundo grado incompletas

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas resueltas.

Solución:[Mostrar]

Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

$ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!$

El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable $x^2=y\,\!$ . Entonces, la ecuación quedará como una de segundo grado

$ay^2 + by + c = 0 \,\!$

Una vez resuelta esta ecuación en $y\;$ , tenemos que averiguar el valor de la $x\;$ . Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo $x=\pm \sqrt{y}$ . En consecuencia, las soluciones $y<0\,\!$ , las rechazaremos, ya que no darán solución para la $x\,\!$ , quedándonos sólo con las soluciones de $y\,\!$ no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la $x\,\!$ .

Ejemplo: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las ecuaciones:

a) $x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\!$

b) $x^4 - 3x^2 - 10 = 0\;\!$

c) $x^4 - 9x^2 = 0 \;\!$

Solución:[Mostrar]

Ecuaciones con la x en el denominador

Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador, laspuedes resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, es decir, haciendo el mínimo común múltiplo de los denominadores. A continuación se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador, Esto se hace con los dos miembros de la ecuación.De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.

En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.

Ejemplo: Ecuaciones con x en el denominador

Resuelve las ecuación: $\frac{1} {x}- \frac{1} {x+3} = \frac{3} {10}$

Solución:[Mostrar]

Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones con radicales son aquellas que tienen la x dentro de raices cuadradas. Para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial para detectar y recharzar las que no sean válidas.

Ejemplo: Ecuaciones con radicales

Resuelve las ecuaciones:

a) $\sqrt{3x-5} +1=x\;\!$

b) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\!$

Solución:[Mostrar]

Ecuaciones factorizadas

Las ecuaciones factorizadas son ecuaciones del tipo:

$(...) \cdot (...) \cdot (...) = 0$

donde cada factor $(...)\;$ es una expresión algebraica.

Como para que un producto sea cero basta con que uno de los factores sea cero, tenemos que igualar a cero cada factor y resolver la ecuación resultante.

Ejemplo: Ecuación factorizada

Resuelve la ecuación $x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\!$