Resolución de ecuaciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Ecuación de segundo grado
2 Ecuación de segundo grado
3 Ecuaciones bicuadradas
4 Ecuaciones con la x en el denominador
5 Ecuaciones con radicales
6 Ecuaciones factorizadas
7 Ecuaciones exponenciales
8 Ecuaciones logarítmicas

Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita, $x\;\!$ , es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.

Ejemplos

$2x+3x^2=1-x\;$ es una ecuación de segundo grado completa, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: $3x^2+3x-1=0\;$
$2x+3x^2=2x-3\;$ es una ecuación de segundo grado incompleta, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: $3x^2+3=0\;$
$2x+3x^2+1=1-x\;$ es una ecuación de segundo grado completa, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: $3x^2+3x=0\;$
$2x+3x^2=1+3x^2\;$ no es una ecuación de segundo grado, ya que al reducirla resulta una ecuación de primer grado: $2x-1=0\;$

La ecuación de segundo grado (3´38") Sinopsis:

Definición de ecuación de segundo grado.

La ecuación de segundo grado Descripción:

Actividades en la que aprenderás a identificar los coeficientes de una ecuación de segundo grado y a determinar si es completa o incompleta.

El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:

Ecuaciones de segundo grado: definición, resolución, propiedades. (16´21") Sinopsis:

Definición de ecuación de segundo grado.
Fórmula para su resolución con su demostración.
Definición de discriminante de una ec. de segundo grado y su relación con el número de soluciones de ésta y con ejemplos de cada caso.
Factorización del polinomio de segundo grado a partir de las soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado.
Propiedades del producto y la suma de las raíces de la ecuación con su demostración.
Ecuaciones de segundo grado incompletas.

Ecuación de segundo grado completa

Fórmula general

Las soluciones de la ecuación de segundo grado

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

son:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

donde el signo $(\pm)$ significa que una solución se obtiene con el signo $(+)\;\!$ y otra con el signo $(-)\;\!$ .

Demostración:

A continuación tienes la demostración en videtutorial y por escrito:

Demostración

Demostración 1 (1'00") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 2 (10'05") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 3 (7'48") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 4 (9'13") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración:

1. Se divide la ecuación por $a\;\!$ :

$x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0$

2. Se multiplica y divide por $2\;\!$ el coeficiente de la $x\;\!$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0$

3. Se suma a los dos miembros de la igualdad $\cfrac{b^2}{4a^2}$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}$

4. Se pasa restando a la derecha $\cfrac{c}{a}$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}$

5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de $\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2$ :

$\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}$

6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:

$x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}$

7. Se despeja x:

$x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}$

8. Se simplifica la expresión:

$x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado resueltas

En la escena, pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos.

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula

Tutorial 1 (cómo usar la fórmula) (7'37") Sinopsis:

Cómo utilizar la fórmula general de la ecuación de segundo grado.

Tutorial 2 (8'37") Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 3 (14'06") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica la resolución de ecuaciones de 2º grado aplicando la fórmula general de resolución.

Tutorial 4 (16'33") Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 5a (8'34") Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 5b (13'08") Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Ejercicio 1 (3'17") Sinopsis:

Escribe en forma general e identifica los coeficientes "a", "b", y "c": $6 x 2 + 3 = 2 x - 6$ .

Ejercicio 2 (8'38") Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: $- x 2 + 8 x = 1$ .

Ejercicio 3 (4'53") Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: $- 3 x 2 + 10 x - 3 = 0$ .

Ejercicio 4 (6'58") Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: $- 7 q 2 + 2 q + 9 = 0$ .

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula

Actividad 1 Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Actividad 2 Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 1 Descripción:

Resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 3 Descripción:

Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
Copia la ecuación en tu cuaderno y halla sus soluciones.
Escribe el "tipo de solución" y las soluciones en los cuadros correspondientes. Luego pulsa el botón "Solución".

Ejercicios Descripción:

Ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado completas.

Resolución de las ecuaciones de segundo grado

Actividad: Resolución de las ecuaciones de segundo grado

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $4x^2+4x+1=0 \;$

b) $x^2+x-12=0 \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve 4x^2+4x+1=0 b) solve x^2+x-12=0

Número de soluciones de la ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, $ax^2+bx+c=0 \;$ , al número:

$\triangle = b^2-4ac$

Proposición

Sea $\triangle$ el discriminante de una ecuación de segundo grado:

Si $\triangle <0$ , la ecuación no tiene solución.
Si $\triangle >0$ , la ecuación tiene dos soluciones.
Si $\triangle =0$ , la ecuación tiene una solución (doble).

Demostración:

La demostración es inmediata teniendo en cuenta la fórmula para la resolución de la ecuación de segundo grado:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

ya que, lo que hay en el radicando, es precisamente el discriminante. Por tanto,

Si su signo es positivo, la raíz existe y da lugar a dos soluciones distintas.
Si su signo es negativo, la raíz no existe y no hay ninguna solución.
Si es cero, la raíz vale cero, y hay dos soluciones iguales (solución doble).

Discriminante y número de soluciones

Tutorial (5'42") Sinopsis:

Número de soluciones de una ecuación de 2º grado. Discriminante.

Ejercicio 1 (3'04") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $x^2+4x-5=0\;$ .

Ejercicio 2 (3'17") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $36x^2-60x+25=0\;$ .

Ejercicio 3 (3'29") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $\cfrac{9}{4}x^2-4x+\cfrac{10}{3}=0\;$ .

Ejercicio 4 (3'42") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $8x^2-3x=0\;$ .

Ejercicio 5 (3'34") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $x^2+9=0\;$ .

Ejercicio 6 (6'58") Sinopsis:

Determinar el número de soluciones de la ecuación $x^2+14x+49=0\;$ .

Discriminate y número de soluciones

Actividad 1 Descripción:

Actividades en la que aprenderás a calcular el discriminante de una ecuación de segundo grado y su utilidad para determinar el número de soluciones de la misma.

Actividad 2 Descripción:

Calcula el número de soluciones de una ecuación de segundo grado:

Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
Copia la ecuación en tu cuaderno y calcula su discriminante.
Teniendo en cuenta el valor del discriminante, determina cuántas soluciones tiene.
Escribe el número de soluciones en el cuadro "Número de soluciones" y pulsa el botón "Solución".

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado, $ax^2+bx+c=0\;\!$ , es incompleta, si $b=0\;$ ó $c=0\;$ :

Si $b=0:~ ax^2+c=0$

Si $c=0:~ ax^2+bx=0$

Resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas

En el caso $b=0~ (ax^2+c=0 \;)$ , las soluciones se obtienen despejando $x\;$ :

$ax^2+c=0 \ \rightarrow \ ax^2=-c \ \rightarrow \ x^2=-\cfrac{c}{a} \ \rightarrow \ x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}$

En el caso $c=0~ (ax^2+bx=0)$ , las soluciones se obtienen sacando factor común e igualando a cero cada factor:

$ax^2+bx =0 \ \rightarrow \ x \, (ax+b)=0 \ \rightarrow \ \left \{ \begin{matrix} x_1= ~0~~ \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .$

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado incompletas (Caso b=0)

En la escena, pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos.

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado incompletas (Caso c=0)

En la escena, pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Tutorial 1a (5'54") Sinopsis:

Ecuaciones de segundo grado sin termino lineal (caso b=0). Ejemplos.

Tutorial 1b (7'04") Sinopsis:

Ecuaciones de segundo grado sin termino independiente (caso c=0). Ejemplos.

Tutorial 2a (8'39") Sinopsis:

Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso b=0)

Tutorial 2b (8'28") Sinopsis:

Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso c=0)

Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso b=0):

Ejercicio 1 (2'14") Sinopsis:

Resuelve: $x^2-81=0\;$

Ejercicio 2 (2'33") Sinopsis:

Resuelve: $49-x^2=0\;$

Ejercicio 3 (2'45") Sinopsis:

Resuelve: $36x^2-25=0\;$

Ejercicio 4 (3'16") Sinopsis:

Resuelve: $4y^2-9=0\;$

Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso c=0):

Ejercicio 1 (2'47") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+8x=0\;$

Ejercicio 2 (3'17") Sinopsis:

Resuelve: $5x^2-10x=0\;$

Ejercicio 3 (3'41") Sinopsis:

Resuelve: $4x-3x^2=0\;$

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Actividad 1 (caso b=0) Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo b=0.

Actividad 2 (caso c=0) Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo c=0.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones de segundo grado incompletas.

Ejercicios Descripción:

Ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado incompletas.

Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado que no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

$ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!$

Resolución de la ecuación bicuadrada

El método para resolver una ecuación bicuadrada

$ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!$

consiste en hacer el cambio de variable $x^2=y\,\!$ . Entonces, nos quedará la siguiente ecuación de segundo grado en "y".

$ay^2 + by + c = 0 \,\!$

Una vez resuelta esta ecuación en "y", tenemos que averiguar el valor de la "x". Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo $x=\pm \sqrt{y}$ . En consecuencia, las soluciones $y<0\,\!$ , las rechazaremos, ya que no darán solución para la $x\,\!$ , quedándonos sólo con las soluciones de $y\,\!$ no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la $x\,\!$ .

En consecuencia, una ecuación bicuadrada tendrá, como máximo, cuatro soluciones reales.

Ejercicios resueltos: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las ecuaciones:

a) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0\;\!$

b) $x^4 - 2x^2 - 3 = 0\;\!$

c) $x^4 - 5x^2 = 0 \;\!$

Solución:

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-10y+9=0$

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100-36}}{2}=\frac{10 \pm 8}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=9 \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \end{cases}$

Soluciones: $-1,\, 1,\, -3,\, 3 \!$

$x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-2y-3=0$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2 \pm 4}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-1 \rightarrow \mbox {No existe solucion para x} \\ y=3 \rightarrow x= \pm \sqrt 3 \end{cases}$

Soluciones: $-\sqrt 3,\, \sqrt 3\,\!$

$x^4 - 5x^2 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-5y=0$

$y(y-5)=0 \rightarrow \begin{cases} y=0 \rightarrow x= 0 \\ y=5 \rightarrow x= \pm \sqrt 5 \end{cases}$

Soluciones: $0,\, -\sqrt 5,\, \sqrt 5\ \!$

Ecuaciones bicuadradas

Actividad: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $x^4-5x^2+4=0 \;$

b) $x^4+3x^2+2=0 \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve x^4-5x^2+4=0

b) solve x^4+3x^2+2=0 over the reals

Ecuaciones bicuadradas

Tutorial 1 (5'58") Sinopsis:

Ecuaciones bicuadradas. Ejemplos.

Tutorial 2 (27'27") Sinopsis:

Tutorial que explica de forma completa la resolución de ecuaciones bicuadradas, resolviendo muchos ejercicios desde muy sencillos, para entender mejor la estrategia a seguir, hasta más completos.

00:00 a 04:55: Conceptos teóricos de la resolución de ecuaciones de grado mayor que 2. Método de Factorización.
04:55 a 27:27: Ejercicios de ecuaciones bicuadradas o que pueden resolverse con este método.

Tutorial 3 (5´48") Sinopsis:

Método de resolución de ecuaciones bicuadradas.
Ejemplos.

Tutorial 4 (8´08") Sinopsis:

Método de resolución de ecuaciones bicuadradas. Ejemplos.

Ejercicio 1 (5'33") Sinopsis:

Resuelve y factoriza: $x^4-10x^2+9=0\;$

Ejercicio 2 (5´16") Sinopsis:

Resuelve:

a) $x^4+3x^2-4=0\;$

b) $x^4-9x^2=0\;$

c) $x^4-9=0\;$

d) $x^4+5=0\;$

e) $x^6-9x^3+8=0\;$

Ecuaciones con la x en el denominador

Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador, laspuedes resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, es decir, haciendo el mínimo común múltiplo de los denominadores. A continuación se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador, Esto se hace con los dos miembros de la ecuación.De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.

En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.

Ejemplo: Ecuaciones con x en el denominador

Resuelve las ecuación: $\frac{1} {x}- \frac{1} {x+3} = \frac{3} {10}$

Solución:

El m.c.m. de los denominadores es $10x(x+3)\,\!$ . Lo dividimos por cada denominador y multiplicamos el resultado por el numerador, de manera que los denominadores desaparecen:

$10(x+3)-10x = 3x(x+3)\;$

Simplificamos la ecuación resultante:

$10x+30-10x = 3x^2+9x \rightarrow 3x^2+9x-30 = 0 \rightarrow x^2+3x-10 = 0$

Y la resolvemos:

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}} {2} = \frac{-3 \pm 7} {2}$

Hay dos soluciones: $x=2\;$ y $x=-5\;$ . Ambas se deben comprobar en la ecuación inicial y resultan ser válidas:

$\frac{1} {2}- \frac{1} {5}= \frac{5-2} {10} = \frac{3} {10}$

$\frac{1} {-5}- \frac{1} {-2}= \frac{-1} {5}+ \frac{1} {2} = \frac{3} {10}$

Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones con radicales son aquellas que tienen la x dentro de raices cuadradas. Para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial para detectar y recharzar las que no sean válidas.

Ejemplo: Ecuaciones con radicales

Resuelve las ecuaciones:

a) $\sqrt{3x-5} +1=x\;\!$

b) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\!$

Solución:

a) $\sqrt{3x-5} +1=x$

$\sqrt{3x-5}=x-1$

Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:

$3x-5=x^2-2x+1 \rightarrow x^2 -5x + 6 \rightarrow x_1=2 \ x_2=3 \,\!$

Comprobación: $\begin{cases} \sqrt{3 \cdot 2 - 5} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2 \ \mbox{valida} \\ \sqrt{3 \cdot 3 - 5} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 3 \ \mbox{valida} \end{cases}$

b) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4$

Despejamos la primera raíz (Podíamos haber empezado por la segunda)

$\sqrt{2x-3} = 4 - \sqrt{x+7}$

Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

$2x-3 = 16 + (x+7) -8\sqrt{x+7}$

Aislamos la raíz

$x -26 = -8\sqrt{x+7}$

Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

$x^2-52x+676=64(x+7) \rightarrow x^2-116x+228=0 \rightarrow x_1=2 \ x_2=114$

Comprobación $\begin{cases} x_1=2 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 2 -3} \sqrt{2+7}=\sqrt{1}+\sqrt{9} = 1+3=4 \ \mbox{valida} \\ x_2=114 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 114 - 3} + \sqrt{114+7}=15+11 \ne 4 \ \mbox{no valida} \end{cases}$

Ecuaciones factorizadas

Las ecuaciones factorizadas son ecuaciones del tipo:

$(...) \cdot (...) \cdot (...) = 0$

donde cada factor $(...)\;$ es una expresión algebraica.

Como para que un producto sea cero basta con que uno de los factores sea cero, tenemos que igualar a cero cada factor y resolver la ecuación resultante.

Ejemplo: Ecuación factorizada

Resuelve la ecuación $x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\!$

Solución:

$x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\! \rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x-5=0 \rightarrow x=5 \\ 3x+1=0 \rightarrow 3x=-1 \rightarrow x= -\cfrac{1} {3} \end{cases}$

Ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente.

Ejemplo: Ecuación exponencial

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) $2^{x^2-1}=\cfrac{1}{8}\;$

b) $2^x+2^{x+1}=12\;$

Solución:

a) $2^{1-x^2}=\cfrac{1}{8}$

Expresamos el segundo miembro como potencia de 2:

$2^{1-x^2}=2^{-3}$

Como $a^x = a^y \iff x=y$ , los exponentes deben ser iguales:

$1-x^2=-3\;$

Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:

$1-x^2=-3 \ \rightarrow \ x^2=4 \ \rightarrow \ x=\pm 2$

Soluciones: $x_1=2 \, \ x_2=-2$

b) $2^x+2^{x+1}=12\;$

Hacemos el siguiente cambio de variable:

$2^x=y\;$

Así nuestra ecuación queda:

$2^x+2^{x+1}=12 \ \rightarrow \ 2^x+2 \cdot 2^x=12 \ \rightarrow \ y+2y=12 \ \rightarrow \ y=4$

Ahora hay que deshacer el cambio de variable:

$2^x=y \ \rightarrow \ 2^x=4 \ \rightarrow \ 2^x=2^2 \ \rightarrow \ x=2$

Solución: $x=2\;$

Ecuaciones logarítmicas

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como parte de un logaritmo.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de los logaritmos.

Ejemplos: Ecuaciones logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) $log \ x + log \ 50 = 3$

b) $5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32$

c) $2\, log \ x= log \ (10-3x)$

Solución:

a) $log \ x + log \ 50 = 3$

Teniendo en cuenta que:

$log \ A + log \ B = log \ (A \cdot B)$
$3 = log \ 1000$

tenemos:

$log \ x + log \ 50 = 3 \ \rightarrow \ log \ (50x) = log \ 1000$

Y teniendo en cuenta que $log \ A = log \ B \iff A=B$ , se tiene:

$50x=1000 \ \rightarrow \ x=20$

Solución: $x=20\;$

b) $5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32$

Teniendo en cuenta que:

$log_a \ B^n = n \ log_a \ B$ , tenemos:
$32=2^5\;$

tenemos:

$5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32 \ \rightarrow \ log_2 \ (x+3)^5= log_2 \ 2^5$

Como $log \ A = log \ B \iff A=B$ , se tiene:

$(x+3)^5= 2^5\;$

Y, como $a^x = b^x \iff a=b$

$x+3= 2 \ \rightarrow \ x=-1$

Solución: $x=-1\;$

c) $2\, log \ x= log \ (10-3x)$

Teniendo en cuenta que $log_a \ B^n = n \ log_a \ B$ , tenemos:

$2\, log \ x= log \ (10-3x) \ \rightarrow \ log \ x^2= log \ (10-3x)$

Como $log \ A = log \ B \iff A=B$ , se tiene:

$x^2= 10-3x \ \rightarrow \ x^2+3x-10=0 \ \rightarrow \ \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=-5 \end{cases}$

De las dos soluciones, $x_2=-5\;$ no es válida, porque al comprobarla en la ecuación de partida, $log x\;$ no se puede calcular para $x=-5\;$ (El logaritmo de un número negativo no existe).