Plantilla:Ecuaciones logaritmicas

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Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como parte de un logaritmo.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de los logaritmos.

ejercicio

Ejemplos: Ecuaciones logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) log \ x + log \ 50 = 3
b) 5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32
c) 2\, log \ x= log \ (10-3x)
Solución:

a) log \ x + log \ 50 = 3

Teniendo en cuenta que:

  • log \ A + log \ B = log \ (A \cdot B)
  • 3 = log \ 1000

tenemos:

log \ x + log \ 50 = 3 \ \rightarrow \ log \ (50x) = log \ 1000

Y teniendo en cuenta que log \ A = log \ B \iff A=B, se tiene:

50x=1000 \ \rightarrow \ x=20

Solución: x=20\;

b) 5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32

Teniendo en cuenta que:

  • log_a \ B^n = n \ log_a \ B, tenemos:
  • 32=2^5\;

tenemos:

5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32 \ \rightarrow \ log_2 \ (x+3)^5= log_2 \ 2^5

Como log \ A = log \ B \iff A=B, se tiene:

(x+3)^5= 2^5\;

Y, como a^x = b^x \iff a=b

x+3= 2 \ \rightarrow \ x=-1


Solución: x=-1\;

c) 2\, log \ x= log \ (10-3x)

Teniendo en cuenta que log_a \ B^n = n \ log_a \ B, tenemos:

2\, log \ x= log \ (10-3x) \ \rightarrow \ log \ x^2= log \ (10-3x)

Como log \ A = log \ B \iff A=B, se tiene:

x^2= 10-3x \ \rightarrow \ x^2+3x-10=0 \ \rightarrow \ \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=-5 \end{cases}

De las dos soluciones, x_2=-5\; no es válida, porque al comprobarla en la ecuación de partida, log x\; no se puede calcular para x=-5\; (El logaritmo de un número negativo no existe).


Solución: x=2\;

Nota importante: Comprueba siempre las soluciones en la ecuación de partida.
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ecuaciones_logaritmicas"
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