Radicales (1ºBach)

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Raíces

Definición

Sdefine raíz n-sima de un número real $a\;\!$ (y se representa por $\sqrt[n]{a}$ ) como otro número real $b\;\!$ tal que $b^n =a\;\!$ . $(n \in \mathbb{N},\ n>1)$

Es decir:

$b=\sqrt[n]{a} \iff b^n =a$

El número $a\;\!$ se llama radicando, el número $n\;\!$ , índice y $b\;\!$ es la raíz.

La raíz como potencia de exponente fraccionario

Proposición

Toda raíz se puede expresar como una potencia cuya base es el radicando, $a\;\!$ , y el exponente es $\cfrac{1}{n}$ , siendo $n\;\!$ el índice de la raíz. Ésto es:

$\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}$

De forma similar, también se cumple:

$\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}$

Demostración:

Para la primera parte, basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz.

$(a^\frac{1}{n})^n=a^{\frac{1}{n} \cdot n}=a^1=a$

Para la segunda parte, haremos una comprobación análoga:

$(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m$

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:

$a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}$

Solución:

Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario.

Click aquí si no se ve bien la escena

Radicales

Radical

Un radical es cualquier expresión del tipo:

$k \cdot \sqrt[n]{a}~,~k \in \mathbb{R}$

Si dos radicales tienen el mismo índice diremos que son homogéneos.
Si dos radicales tienen el mismo índice y el mismo radicando diremos que son semejantes.

Ejemplos:

Son radicales homogéneos: $3\sqrt{2} \ , \ -\sqrt{10} \ , \ \cfrac{2}{3}\sqrt{7}$
Son radicales semejantes: $3\sqrt[3]{2} \ , \ -\sqrt[3]{2} \ , \ \cfrac{2}{3}\sqrt[3]{2}$

Radicales (3´14") Sinopsis:

Radicales: homogéneos y semejantes. Ejemplos.

Radicales equivalentes

Dos o más radicales son equivalentes si se pueden poner como potencias de exponente fraccionario con la misma base y cuyos exponentes sean fracciones equivalentes.

Radicales equivalentes

Actividad Descripción:

Actividades en las que podrás aprender lo que son radicales equivalentes y cómo obtener radicales equivalentes con un índice superior (amplificación) o inferior (simplificación)

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre radicales equivalentes.

Reducción de radicales a índice común

La amplificación y simplificación de radicales nos va a permitir reducir radicales a índice común realizando el mínimo común múltiplo de los índice al igual que para reducir fracciones a común denominador se hacía el m.c.m. de los denominadores. No olvidemos que índice y denominador del exponente es lo mismo.

Reducción de radicales a índice común (4'47") Sinopsis:

Reducción de radicales a índice común. Ejemplos.

Autoevaluación: Reducción de radicales a índice común Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre reducción de radicales a índice común.

Ordenación de radicales

La reducción de radicales a índice común nos va a permitir ordenar cómodamente varios radicales:

Ordenación de radicales (4'53") Sinopsis:

Ordenación de radicales. Ejemplos.

Operaciones con radicales

Propiedades de las operaciones con radicales

Propiedades de las operaciones con radicales

1. $\sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a}$

2. $\left ( \sqrt[n]{a}\right )^p=\sqrt[n]{a^p}$

3. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

4. $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}$

5. $\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}$

Demostración:

Para demostrar estas propiedades basta con expresar el radical como potencia de exponente fraccionario y aplicar sus propiedades.

Ejercicios resueltos: Radicales. Propiedades

Simplificar: a) $\sqrt[12]{x^9}$ , b) $\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6$ , c) $\sqrt{\sqrt[3]{a}}$ , d) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}$ , e) $\sqrt{12} : \sqrt{3}$

Solución:

a) $\sqrt[12]{x^9}=\sqrt[4 \cdot 3]{x^{3 \cdot 3}}=\sqrt[4]{x^{3}}$ , usando la propiedad nº 1.

b) $\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6=\sqrt[3]{a^{12}}=a^{\frac{12}{3}}=a^4$ , usando la propiedad nº 2 y transformando el radical en potencia de exponente fraccionario.

c) $\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[2 \cdot 3]{a}=\sqrt[6]{a}$ , usando la propiedad nº 3.

d) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}= \sqrt[3]{3 \cdot 9} =\sqrt[3]{27}=3$ , usando la propiedad nº 4.

e) $\sqrt{12} : \sqrt{3}=\sqrt{12:3}=\sqrt{4}=\pm 2$ , usando la propiedad nº 5.

Propiedades de las operaciones con radicales Descripción:

Actividades en las que podrás aprender las propiedades de las operaciones con radicales del mismo índice.

Propiedades de las operaciones con radicales

Tutorial 1 (23'07") Sinopsis:

Tutorial que explica las propiedades básicas de los radicales, con ejemplos resueltos.

Tutorial 2 (6'46") Sinopsis:

Propiedades de las operaciones con radicales. Ejemplos.

Tutorial 3 (10'19") Sinopsis:

Propiedades de las operaciones con radicales. Ejemplos.

Tutorial 3a (7'18") Sinopsis:

Propiedades de las operaciones con radicales. Ejemplos.

Tutorial 3b (4'27") Sinopsis:

Propiedades de las operaciones con radicales. Ejemplos.

Ejemplos (6'28") Sinopsis:

Ejemplos sencillos de aplicación de las propiedades de las operaciones con radicales.

Ejercicio 1 (3'07") Sinopsis:

Simplifica: $(3\sqrt {xy}) \cdot (-2\sqrt {x^2y}) \cdot (-3\sqrt {xy^4})$

Ejercicio 2 (2'43") Sinopsis:

Simplifica: $(-8\sqrt[3] {x^{10}y^2}) : (-4\sqrt[3] {xy^{11}})$

Ejercicio 3 (2´21") Sinopsis:

Calcula: $\sqrt[4]{\cfrac{81}{16}}$

Ejercicio 4 (6´31") Sinopsis:

Calcula:

1) $\sqrt{\cfrac{64}{49}}$ 2) $\sqrt[4]{\cfrac{1}{81}}$ 3) $\sqrt[3]{\cfrac{-27~~}{125}}$ 4) $\sqrt[5]{\cfrac{-32~~}{243}}$

Suma y resta de radicales semejantes

Para sumar y restar radicales, éstos deben ser semejantes, es decir, tener el mismo radicando y el mismo índice. En tal caso el radical el radical resultante tiene como coeficiente la suma o resta de los coeficientes de cada uno de los radicales.

Ejemplo: Suma y resta de radicales semejantes

Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales:

1. $3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}$

2. $3\sqrt{2}-\sqrt{3}$

3. $3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}$

Solución:

1. $3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3-1+5)\sqrt{5}=7\sqrt{5}$

2. $3\sqrt{2}-\sqrt{3}=$ (No se puede simplificar)

3. $3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}=$ (No se puede simplificar)

Actividades

En los siguientes videotutoriales vamos a repasar las operaciones con radicales vistas hasta ahora, antes de pasar a ver otros casos de mayor dificultad.

Operaciones básicas con radicales

Tutorial (17'15") Sinopsis:

Definición de radical y de radicales semejantes.
Suma de radicales semejantes.
Radicales opuestos.
Resta de radicales semejantes.
Producto de radicales del mismo índice.
División de radicales del mismo índice.
Potencia de un radical.
Raíz de un radical.

Ejercicio 1a (31'06") Sinopsis:

1) Radicales semejantes:

1a) Escribe tres radicales semejantes y tres que no lo sean.

1b) Escribe dos radicales semejantes opuestos.

2) Calcula:

2a) $30 \sqrt{10}+7 \sqrt{10}-3 \sqrt{10}\;$

2b) $-2 \sqrt{5}-3 \sqrt{5}+ \sqrt{2}\;$

2c) $\sqrt{20}+3 \sqrt{2}-\sqrt{2}\;$

2d) $-3 \sqrt[3]{11}+\sqrt[3]{11}-8 \sqrt[3]{11}\;$

2e) $-8 \sqrt[3]{11}+4 \sqrt[3]{11}-2 \sqrt[3]{11}\;$

2f) $\sqrt[3]{-5}-5 \sqrt[3]{-5}+2 \sqrt[3]{-5}\;$

2g) $6 \sqrt[8]{3}+12 \sqrt[8]{3}-4 \sqrt[8]{3}\;$

2h) $5 \sqrt[11]{-8}+9 \sqrt[11]{-8}- \sqrt[11]{-8}\;$

2i) $-\sqrt[5]{3}- \sqrt[5]{3}-4 \sqrt[5]{3}\;$

3) Halla el opuesto de los siguiente radicales y después suma cada radical con su opuesto:

3a) $\sqrt{6}\;$

3b) $7 \sqrt{4}\;$

3c) $-5\sqrt[3]{2}\;$

3d) $-8\sqrt[3]{-3}\;$

3e) $14\sqrt[3]{5}\;$

3f) $-5\sqrt[4]{7}\;$

4) Calcula:

4a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \;$

4b) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \;$

4c) $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \;$

4d) $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \;$

4e) $\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \;$

4f) $\sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \;$

4g) $\sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2}\;$

4h) $\sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \;$

4i) $\sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \;$

4j) $\sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2}\;$

5) Calcula:

5a) $2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} \;$

5b) $3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{6} \;$

5c) $3\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{2} \;$

5d) $-2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} \;$

5e) $8\sqrt{7} \cdot (-2)\sqrt{7} \;$

5f) $3\sqrt{3} \cdot (-7\sqrt{6}) \cdot 4\sqrt{6} \;$

5g) $-5\sqrt{12} \cdot (-\sqrt{12}) \cdot 4\sqrt{12} \;$

5h) $3\sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3}) \cdot (-4)\sqrt{3} \;$

5h) $-3\sqrt{5} \cdot (-7\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} \;$

Ejercicio 1b (33'52") Sinopsis:

5) Calcula:

5i) $2\sqrt[3]{3} \cdot 3\sqrt[3]{3} \;$ ; 5j) $3\sqrt[3]{5} \cdot 2\sqrt[3]{5} \;$ ; 5k) $3\sqrt[3]{6} \cdot 5\sqrt[3]{6} \;$

5l) $-2\sqrt[3]{3} \cdot 5\sqrt[3]{3} \;$ ; 5m) $8\sqrt[3]{-7} \cdot \sqrt[3]{-2} \cdot \sqrt[3]{-7} \;$ ; 5n) $3\sqrt[3]{3} \cdot (-7\sqrt[3]{3}) \cdot 4\sqrt[3]{3} \;$

5o) $-5\sqrt[3]{12} \cdot (-\sqrt[3]{12}) \cdot 4\sqrt[3]{12} \;$ ; 5p) $3\sqrt[3]{3} \cdot (-3\sqrt[3]{3}) \cdot (-4\sqrt[3]{3}) \;$ ; 5q) $-3\sqrt[3]{5} \cdot (-7\sqrt[3]{5}) \cdot \sqrt[3]{5} \;$

6) Calcula:

6a) $\sqrt{14} : \sqrt{7} \;$ ; 6b) $8\sqrt{30} : (-2\sqrt{3}) \;$ ; 6c) $-10\sqrt{15} : 5\sqrt{5} \;$

6d) $6\sqrt{12} : (-\sqrt{2}) \;$ ; 6e) $20\sqrt{7} : 10\sqrt{7} \;$ ; 6f) $\sqrt[3]{14} : \sqrt[3]{7} \;$

6g) $9\sqrt[3]{14} : (-\sqrt[3]{-7}) \;$ ; 6h) $-10\sqrt[3]{15} : 5\sqrt[3]{5} \;$ ; 6i) $12\sqrt[3]{18} : (-6\sqrt[3]{-9}) \;$

6j) $-30\sqrt[3]{14} : 6\sqrt[3]{7} \;$ ; 6k) $\sqrt[4]{14} : \sqrt[4]{7} \;$ ; 6l) $9\sqrt[4]{14} : (-\sqrt[4]{7}) \;$

6m) $-10\sqrt[4]{15} : 5\sqrt[4]{5} \;$ ; 6n) $12\sqrt[4]{18} : (-6\sqrt[4]{9}) \;$ ; 6o) $-30\sqrt[4]{14} : 6\sqrt[4]{7}) \;$

6p) $\sqrt[5]{14} : \sqrt[5]{7} \;$ ; 6q) $9\sqrt[5]{14} : (-\sqrt[5]{7}) \;$ ; 6r) $-10\sqrt[5]{15} : 5\sqrt[5]{5}) \;$

7) Calcula:

a) $(\sqrt{7})^2\;$ ; b) $(\sqrt[3]{7})^3\;$ ; c) $(\sqrt[4]{7})^4\;$ ; d) $(\sqrt{5})^2\;$ ; e) $(\sqrt[3]{5})^3\;$

f) $(\sqrt[4]{21})^4\;$ ; g) $(\sqrt{25})^2\;$ ; h) $(\sqrt[3]{-25})^3\;$ ; i) $(\sqrt[4]{100})^4\;$ ; j) $(\sqrt{18})^2\;$

k) $(\sqrt[3]{-100})^3\;$ ; l) $(\sqrt[5]{16})^5\;$ ; m) $(\sqrt{100})^2\;$ ; n) $(\sqrt[3]{18})^3\;$ ; o) $(\sqrt[6]{12})^6\;$

8) Calcula:

a) $\sqrt{\sqrt{2}}\;$ ; b) $\sqrt{\sqrt{3}}\;$ ; c) $\sqrt{\sqrt{7}}\;$ ; d) $\sqrt[3]{\sqrt{2}}\;$

e) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{25}}\;$ ; f) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}\;$ ; g) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{2}}\;$ ; h) $\sqrt[3]{\sqrt{128}}\;$

Extracción e introducción de factores en un radical

El siguiente videotutorial resume lo que se va a a ver en este apartado:

Extracción e introducción de factores en un radical (19'38") Sinopsis:

Tutorial que explica cómo extraer factores de un radical, que se utiliza principalmente para simplificar radicales, y de cómo introducir factores dentro.

Extracción de factores

Procedimiento

Para extraer factores de un radical se divide el exponente (m) del factor entre el índice (n) del radical. A continuación, se saca el factor elevado al cociente (c) de la división, quedando dentro del radical el factor elevado al resto (r).

$\sqrt[n]{a^m}= a^c \cdot \sqrt[n]{a^r}$

Demostración:

Para la demostración transformaremos la expresión radical en potencias y aplicaremos las propiedades de las operaciones con potencias:

$\sqrt[n]{a^m}= a^{\frac{m}{n}} \begin{matrix} ~_{(1)}~ \\ = \\ \, \end{matrix} a^{c+\frac{r}{n}}= a^c \cdot a^{\frac{r}{n}}= a^c \cdot \sqrt[n]{a^r}$

Fíjate que en (1) hemos usado la regla de la divsión:

$m=n \cdot c + r \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= \cfrac{n \cdot c + r}{n} \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= \cfrac{n \cdot c}{n} + \cfrac{r}{n} \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= c + \cfrac{r}{n}$

Para extraer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

Ejemplo: Extracción de factores de un radical

Extrae todo lo que se pueda de este radical: $\sqrt[3]{6000}$

Solución:

$\sqrt[3]{6000}=\sqrt[3]{2^4 \cdot 3 \cdot 5^3}=2 \cdot 5 \sqrt[3]{2 \cdot 3}=10\sqrt[3]{6}$

Extracción de factores de un radical

Tutorial 1 (7'06") Sinopsis:

Extracción de factores de un radical. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'02") Sinopsis:

Extracción de factores de un radical utilizando un símil curioso.

Tutorial 3 (5´50") Sinopsis:

Extracción de factores de un radical. Ejemplos

Ejemplos (6'54") Sinopsis:

Extracción de factores de un radical.

Ejercicio 1 (2'59") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt{8}\;$ b) $\sqrt{45}\;$

Ejercicio 2 (1'58") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt{20}\;$ b) $\sqrt{180}\;$

Ejercicio 3 (2'31") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt[3]{16}\;$ b) $\sqrt[3]{72}\;$

Ejercicio 4 (1'52") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt[5]{96}\;$ b) $\sqrt[4]{405}\;$

Ejercicio 5 (26'16") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt{72}\;$ b) $\sqrt[4]{3645}\;$ c) $\sqrt{3240}\;$ c) $5\,\sqrt[3]{384}\;$

Ejercicio 6 (7'53") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt{486}\;$ b) $6\sqrt[3]{1250}\;$ c) $m^3n\sqrt[5]{m^{20}n^{37}}\;$

Ejercicio 7 (3'40") Sinopsis:

Simplifica: $-2\sqrt [3]{16x^5yz^9}$

Ejercicio 8 (4'12") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt [4]{32x^4y^{21}z^{43}}$

Ejercicio 9 (2'54") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt [5]{32x^5y^{-10}z^{-35}}$

Ejercicio 10 (2'03") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt [5]{-243a^{20}}$

Ejercicio 11a (12´16") Sinopsis:

Extrae todos los factores posibles del radicando:

a) $\sqrt{12}\;$ ; b) $\sqrt{45}\;$ ; c) $\sqrt{400}\;$ ;

d) $\sqrt{18}\;$ ; e) $\sqrt{128}\;$

Ejercicio 11b (22´39") Sinopsis:

Extrae todos los factores posibles del radicando:

f) $\sqrt{216}\;$ ; g) $\sqrt{1080}\;$ ; h) $\sqrt[3]{625}\;$

i) $\sqrt[3]{432}\;$ ; j) $\sqrt[3]{-216}\;$ ; k) $\sqrt[3]{243}\;$

l) $\sqrt[4]{1296}\;$ ; m) $\sqrt[4]{20736}\;$ ; n) $\sqrt[5]{-480}\;$

Ejercicio 12 (6´54") Sinopsis:

Simplifica: $7\,\sqrt{117}\;$

Ejercicio 13 (4´20") Sinopsis:

Simplifica: $3\,\sqrt{500x^3}\;$

Ejercicio 14 (7´30") Sinopsis:

Simplifica:

a) $2\,\sqrt{7x} \cdot 3\,\sqrt{14x^2}\;$

b) $\sqrt{2a} \cdot \sqrt{14a^3} \cdot \sqrt{5a}\;$

Ejercicio 15 (4´27") Sinopsis:

Simplifica: $5\,\sqrt[3]{2x^2} \cdot 3\,\sqrt[3]{4x^4}\;$

Ejercicio 16 (2´17") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt[3]{125x^6y^3}$

Ejercicio 17 (2´25") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt[4]{5a^4b^{12}}$

Extracción de factores de un radical

Actividad 1 Descripción:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Actividad 2 Descripción:

Extrae factores fuera del radical.

Autoevaluación 1 Descripción:

Extrae factores fuera del radical.

Autoevaluación 1b Descripción:

Extrae factores fuera del radical (con variables).

Autoevaluación 1c Descripción:

Extrae factores fuera del radical (con variables).

Introducción de factores

Procedimiento

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical.

$a \sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}$

Demostración:

Para la demostración transformaremos la expresión radical en potencias y aplicaremos las propiedades de las operaciones con potencias:

$a \sqrt[n]{b}=a \cdot b^{\frac{1}{n}}=(a^n)^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}= (a^n \cdot b)^{\frac{1}{n}}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}$

Ejemplo: Introducción de factores en un radical

Introduce los factores dentro del radical: $10 \sqrt[3]{6}$

Solución:

$10 \sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{6 \cdot 10^3}=\sqrt[3]{6000}$

Ejemplos: Introducción de factores de un radical Descripción:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Introducción de factores en un radical

Ejemplo 1 (2'23") Sinopsis:

Introduce dentro del radical: $3 \sqrt{5}$

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando.

Ejemplo 2 (1'42") Sinopsis:

Introduce los factores dentro del radical: $a^3 b^2 \sqrt[4]{c}$

Ejemplo 3 (3'06") Sinopsis:

Introduce los factores dentro del radical: $m^2 n^5 \sqrt[5]{m^3 p^2}$

Ejercicios (4'19") Sinopsis:

Introduce factores dentro del radical:

a) $4 \sqrt[3]{6}$

b) $2^4 \cdot 3^2 \sqrt[6]{2^2 \cdot 3^5}$

b) $a^7 \cdot b^8 \sqrt[5]{b^2}$

Introducción y extracción de factores de un radical Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Autoevaluación: Introducción y extracción de factores de un radical Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre introducción y extracción de factores de un radical.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando.

Ejemplo: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Resta los siguientes radicales: $\sqrt{48}-\sqrt{75}$

Solución:

$\sqrt{48}-\sqrt{75}=\sqrt{2^4 \cdot 3}-\sqrt{5^2 \cdot 3}= 2^2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=-\sqrt{3}$

Ejemplos: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando Descripción:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Tutorial 1 (10'09") Sinopsis:

Tutorial que explica cómo sumar y restar radicales. La suma y resta son operaciones que "se llevan muy mal" con el resto de operaciones y hay que tener mucho cuidado a la hora de hacerlo con radicales.

Tutorial 2 (4'58") Sinopsis:

Suma y resta de radicales con el mismo índice. Ejemplos.

Ejercicio 1 (3'38") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{2}-\sqrt{8}$

Ejercicio 2 (6'11") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt{32}+\sqrt{243}-\sqrt{12}-\sqrt{48}-\sqrt{27}$

Ejercicio 3 (30'30") Sinopsis:

Calcula:

a) $\sqrt{50}+2\sqrt{18}-3\sqrt{32}\;$

b) $-\sqrt{12}+\sqrt{75}-\sqrt{27}\;$

c) $\sqrt{20}+4\sqrt{8}-5\sqrt{50}\;$

d) $\sqrt[3]{48}+\sqrt[3]{1080}-\sqrt[3]{96}\;$

e) $-\sqrt[3]{-27}+2\sqrt[3]{272}-9\sqrt[3]{-81}\;$

Ejercicio 4 (12'36") Sinopsis:

Calcula:

a) $\sqrt[4]{32}+8\sqrt[4]{16}-\sqrt[4]{80}\;$

b) $\sqrt[5]{64}-6\sqrt[5]{32}+5\sqrt[5]{96}\;$

c) $-9\sqrt[6]{64}+\sqrt[6]{192}-\sqrt[6]{960}\;$

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Actividad: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Simplifica $\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{243}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

simplify 4th root (3) - 4th root (243)

Autoevaluación: Suma y resta radicales con el mismo índice y distinto radicando Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Click aquí si no se ve bien la escena

Producto y cocientes de radicales con distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales con distinto índice, primero se reducen a índice común y luego se multiplican o dividen los radicandos.

Ejemplo: Producto y cocientes de radicales con distinto índice

Reduce a un solo radical $\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}$

Solución:

Para reducir los radicales a índice común calculamos el m.c.m de los índices: m.c.m.(3,4,2)=12 y elevamos cada radicando al resultado de dividir el m.c.m. por el índice de cada radical.

$\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}=\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}$

Luego multiplicamos o dividimos los radicandos, ya que ahora los índices son iguales:

$\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}=\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}$

Finalmente simplificamos:

$\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}=\sqrt[12]{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^3 : (2^3)^6}=\sqrt[12]{2^{-14} \cdot 5^7}$

Producto y cociente de radicales con distinto índice

Tutorial (7'21") Sinopsis:

Producto y cociente de radicales con el mismo o con distinto índice. Ejemplos.

Ejercicio 1 (4'43") Sinopsis:

Simplifica: $(8\sqrt[3]{a^2b}) \cdot (4\sqrt{ab^3})$

Ejercicio 2 (3'50") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt[3]{27^{-2}} : \sqrt[4]{16}$

Producto y cocientes de radicales

Producto y cociente de radicales con distinto índice Descripción:

Actividades en las que podrás aprender a multiplicar y dividir radicales de distinto índice previa reducción a índice común.

Autoevaluación: Producto de radicales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre productos de radicales.

Autoevaluación: Cociente de radicales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre cocientes de radicales.

Potencias de radicales

Potencias de radicales (6'31") Sinopsis:

Potencias de radicales. Ejemplos.

Autoevaluación: Potencias de radicales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de radicales.

Radicales dobles (Avanzado)

Radicales dobles

Ejercicio 1 (7'08") Sinopsis:

Convierte los siguientes radicales dobles en sencillos:

a) $\sqrt{11+6 \sqrt{2}}$

b) $\sqrt{7-\sqrt{48}}$

Ejercicio 2 (6'43") Sinopsis:

Convierte los siguientes radicales dobles en sencillos:

a) $\sqrt{7+ \sqrt{24}}$

b) $\sqrt{8-\sqrt{48}}$

Convierte los siguientes radicales sencillos en dobles:

a) $\sqrt{6}+ \sqrt{2}$

b) $\sqrt{5}- \sqrt{2}$

Actividades

Operaciones con radicales

Ejercicio 1 (10'09") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt{8^{20}}:\sqrt{8^{14}}$

b) $\sqrt[6]{\sqrt{8}}$

c) $\sqrt[9]{12} \cdot \sqrt{3}$

Ejercicio 2 (6'06") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{\sqrt{27}+\sqrt{75}}{\sqrt{48}}$

Ejercicio 3 (4'34") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt [4]{\sqrt{x^3} \cdot 16 \sqrt{x}}$

Ejercicio 4 (2'57") Sinopsis:

Simplifica: $\left(\cfrac{\sqrt [6]{32}}{\sqrt{8}} \right)^3$

Ejercicio 5 (7'27") Sinopsis:

Simplifica (Extracción e introducción de factores en un radical):

a) $\sqrt[3]{5^{17} \cdot 4^6}$

b) $\sqrt[3]{16\, a^4\, b^{21}}$

c) $7^3 \cdot 6^9 \sqrt[11]{y^3}$

Ejercicio 6 (7'27") Sinopsis:

Simplifica:

a) $(2\sqrt{11})(5\sqrt{3})(-\sqrt{2})$

b) $(5\sqrt[3]{4})(2\sqrt[3]{2})$

c) $(7\sqrt{2})(5\sqrt[3]{3})$

Ejercicio 7 (6'00") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\cfrac{16\sqrt{10}}{4\sqrt{5}}$

b) $\cfrac{24\sqrt[4]{2}}{4\sqrt[5]{3}}$

Ejercicio 8 (8'52") Sinopsis:

Simplifica:

a) $2\sqrt{12}+11\sqrt{48}-5\sqrt{75}$

b) $13\sqrt{45}-11\sqrt{128}-9\sqrt{80}+4\sqrt{162}$

Ejercicio 9 (6'11") Sinopsis:

Simplifica:

a) $3\sqrt[5]{2}+7\sqrt[5]{2}$

b) $3\sqrt{7}-2\sqrt{3}+9\sqrt{7}-5\sqrt{3}$

c) $3\sqrt[3]{54}-2\sqrt[3]{2}+9\sqrt[3]{16}$

d) $4\sqrt[4]{25}-\sqrt{45}$

e) $\cfrac{1}{2}\sqrt[3]{108}-\cfrac{3}{2}\sqrt[3]{4}$

Ejercicio 10 (19'33") Sinopsis:

Calcula y simplifica:

a) $2\sqrt{25} \cdot 3\sqrt{63}\;$ ; b) $3\sqrt{25} \cdot 2\sqrt{18}\;$ ; c) $3\sqrt{30} \cdot 5\sqrt{6}\;$

d) $-2\sqrt{63}-5\sqrt{35}\;$ ; e) $8\sqrt{70} \cdot (-2)\sqrt{35}\;$ ; f) $3\sqrt{21} \cdot (-7\sqrt{7}) \cdot 4\sqrt{6}\;$

g) $3\sqrt{55} \cdot (-3\sqrt{22}) \cdot (-4)\sqrt{5}\;$ ; f) $-3\sqrt{15} \cdot (-7\sqrt{55}) \cdot \sqrt{3}\;$

Ejercicio 11 (29'15") Sinopsis:

Opera y simplifica:

a) $2\sqrt[3]{18} \cdot 3\sqrt[3]{12}\;$ ; b) $3\sqrt[3]{50} \cdot 2\sqrt[3]{20}\;$ ; c) $3\sqrt[3]{45} \cdot 5\sqrt[3]{75}\;$

d) $-2\sqrt[3]{28} \cdot 5\sqrt[3]{98}\;$ ; e) $8\sqrt[3]{-12} \cdot (-3\sqrt[3]{3}) \cdot \sqrt[3]{-6}\;$ ; f) $3\sqrt[3]{8} \cdot (-7\sqrt[3]{9}) \cdot 4\sqrt[3]{3}\;$

g) $-5\sqrt[3]{27} \cdot (-\sqrt[3]{4}) \cdot 4\sqrt[3]{2}\;$ ; h) $3\sqrt[3]{20} \cdot (-3\sqrt[3]{10}) \cdot (-4\sqrt[3]{5})\;$ ; i) $3\sqrt[6]{324} \cdot 5\sqrt[6]{144}\;$