Algunos tipos de sucesiones (1ºBach)
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Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, , que llamaremos diferencia.
Escrito en forma recursiva:
Por ejemplo, la sucesión :
es una progresión aritmética con diferencia .
Progresiones aritméticas: definición y ejemplos.
Determina el quinto término de la siguiente progresión aritmética: {-3, -7, -11, -15, ...}
Dados los términos de una progresión aritmética, completar la fórmula de recurrencia.
Actividades en las que aprenderás el concepto de progresión aritmética y a cómo identificarlas.
Actividades de introducción a las sucesiones aritméticas.
Fórmulas recursivas para sucesiones aritméticas.
Extiende sucesiones aritméticas.
Fórmulas recursivas para sucesiones aritméticas.
Tabla de contenidos |
Término general de una progresión aritmética
Término general de una progresión aritmética
El término general, , de una progresión aritmética de diferencia es:
En efecto, de forma intuitiva:
........................
Demostración por el método de inducción completa:
Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.
Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:
con lo que queda comprobada para n=1.
Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n:
Por ser una progresión aritmética cada término se obtiene sumando d al anterior término:
Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:
Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.- Definición de progresión aritmética.
- Término general
- Ejemplos
Tutorial en el que se explica y trabajan las progresiones aritméticas, la ley de recurrencia y el término general que las genera, así como alguna de sus propiedades básicas.
Término general de una progresión aritmética: Obtención y ejemplos.
Término general de una progresión aritmética: Más ejemplos
Término general de una progresión aritmética a partir de términos intermedios.
- Definición de progresión aritmética.
- Ejemplos
- Término general
- Una progresión aritmética tiene como término general , halla el término .
- Halla el término de una progresión aritmética que viene dada por la siguiente ley de recurrencia:
Halla el término general y la forma recursiva de las siguientes progresiones aritméticas:
- a) {-5, -3, -1, 1, ...}
- b) {100, 107, 114, 121, ...}
- c) {1, 3, 6, 10, ...}
Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas:
- a) {12, 5, -2, -9, ...}
- b) {-100, -50, 0, 50, ...}
Halla el término 100 de la siguiente progresión aritmética: {15, 9, 3, -3, ...}.
Halla la forma recursiva de la progresión aritmética con término general
Actividad de introducción a las fórmulas de sucesiones aritméticas.
Actividad para aprender a obtener el término general (fórmula explícita) de sucesiones aritméticas.
Actividades en las que aprenderás a obtener el término general de una progresión aritmética.
Convertir formas de sucesiones aritméticas, recursivas y explícitas.
Repaso de sucesiones aritméticas.
Usa el término general de progresiones aritméticas.
Obtén el término general (fórmula explícita) de sucesiones aritméticas.
Encuentra el término general de una progresión aritmética dada.
Convertir formas de sucesiones aritméticas, recursivas y explícitas.
Suma de términos de una progresión aritmética
Suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
El porqué de esta fórmula se deduce de la siguiente historia:
En un pequeño pueblo de Alemania, Brunswick, un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos uno de los alumnos levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente, así era.
El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.
Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüss. Fue uno de los mas grandes matemáticos. Intenta enterarte de algo más sobre él.
Demostración:
Para la demostración nos basaremos en el hecho de que:
Entonces, si efectuamos la siguiente suma:
-
- _______________________________________________________________
por tanto:
Actividades en las que aprenderás a obtener de los "n" primeros términos de una progresión aritmética.
Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Ejemplos.
Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética con demostración apoyada en la anécdota de Gauss. Ejemplo.
Demostración de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética
Halla el valor del ángulo θ, sabiendo que representa su complementario y su supementario, teniendo en cuenta que se cumple la siguiente expresión:
Suma los n primeros términos de una progresión aritmética dada.
Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, , que llamaremos razón
Por ejemplo:
es una progresión geométrica de razón r=2.
Término general de una progresión geométrica
Término general de una progresión geométrica
Sean términos de una progresión geométrica de razón .
Entonces se cumple que:
|
En efecto, razonando por inducción:
........................
Actividad Interactiva: Progresiones geométricas
Actividad 1: Ejercicios de autoevaluación sobre progresiones geométricas.
Actividad:
|
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de términos de una progresión geométrica
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
|
Efectuamos la siguiente resta:
-
- ______________________________________________________________________________
por tanto:
y despejando
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que se obtiene así:
|
La siguiente demostración usa el concepto de límite que aún no conoceis. Lo podremos ver con detalle, más adelante en este tema, en un apartado titulado Algunos límites importantes.
Vamos a partir de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica y vamos a hacer que n tienda a infinito.
Como , cuando n tiende a infinito, tiende a 0.
Entonces, tiende a y a ese valor límite de lo llamamos .Sucesiones de potencias
Una sucesión de potencias es una sucesión de la forma
De ellas las más frecuentes son para los casos m=2 y m=3, que son las sucesiones de cuadrados y de cubos, respectivamente.
Suma de términos de las sucesiónes de cuadrados y cubos
- La suma de los n primeros términos de una sucesión de cuadrados es
- La suma de los n primeros términos de una sucesión de cubos es
La demostración excede los niveles de este curso.
Sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:
Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:
Existe también una fórmula explícita, no recurrente, para el término general:
Término general de la sucesión de Fibonacci
El término general de la sucesión de Fibonacci es:
siendo el número áureo.
Puedes ver una demostración que sobrepasa este nivel en este enlace: enlace a wikipedia
Ejercicios
Progresiones aritméticas
Problemas: Progresiones aritméticas 1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia y el término general de cada una de ellas. a) 1, -1, -3, -5, -7,.... b) 2, 5, 8, 11, 14,.... c) -7, -5, -3, -1, 1,...Solución:
2. Si y , en una progresión aritmética, ¿cuánto vale ?
Solución:
3. Si y , calcular .
Solución:
4. Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo. ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado? Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.
Solución: |
Progresiones geométricas
Problemas: Progresiones geométricas 1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones geométricas. Calcula la razón y el término general de cada una de ellas. a) 1, 3, 9, 27.... b) 4, -4, 4, -4,.... c) 27, 9, 3, 1,...Solución:
2. ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 2 y el cuarto término 250?
Solución:
3. Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una de ellas lo ha comunicado a otras 3 y cada una de estas a otras 3 nuevas en los diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas?
Solución: 4. Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó como recompensa por el invento que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sólo que no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso. Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó el inventor?Solución: a) b) |