Estudio gráfico (PACS)

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Indice CD Alumno 07 Resueltos 07 Descartes Manual Casio	Coordenadas Funciones (SM) Funciones (ppt) Descartes: Test de ejercicios	WIRIS Calculadora

Tabla de contenidos

1 Monotonía
2 Extremos relativos: Máximos y mínimos
- 2.1 Ejercicios
3 Tendencias
4 Periodicidad
5 Simetrías
6 Continuidad
7 Ejercicios

Monotonía

Una función es creciente en un intervalo I cuando al aumentar la variable independiente $x\;$ en ese intervalo, aumenta la variable dependiente $y\;$ .

$\forall x_1,x_2 \in I, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$

Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente $x\;$ en ese intervalo, disminuye la variable dependiente $y\;$ .

$\forall x_1,x_2 \in I, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$

Una función es constante en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente $x\;$ en ese intervalo, la variable dependiente $y\;$ no varía, siempre toma un mismo valor $k\;$ .

$f(x)=k \ , \forall x \in I$

Crecimiento de una función

Tutorial 1 (2'50") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio del crecimiento de una función dada su gráfica.

Tutorial 2 (7'10") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio del crecimiento de una función dada su gráfica.

Tutorial 3 (12´24") Sinopsis:

Conceptos de función creciente, decreciente y constante.

Ejercicio 1 (1'58") Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (2'08") Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'24") Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'28") Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

Crecimiento de una función

Actividad 1 Descripción:

Actividades con las que aprenderás a determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás ver cuando una función es creciente, decreciente o constante.

Autoevaluación Descripción:

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Se llama variación de una función $f\;$ en un intervalo $[a,b]\;$ , a lo que varía la variable dependiente de un extremo a otro del intervalo:

$\Delta f_{[a,b]}=f(b)-f(a)\;$

Extremos relativos: Máximos y mínimos

Una función $y = f (x)$ tiene un máximo en un punto $(x o, y o)$ cuando $y o$ es mayor que los valores que toma la variable $y$ en un intervalo entorno al punto. Una función $y = f (x)$ tiene un mínimo en un punto $(x o, y o)$ cuando $y o$ es menor que los valores que toma la variable $y$ en un intervalo entorno al punto.

Actividad interactiva: Crecimiento, máximos y mínimos

1. Interpreta la siguiente gráfica que muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo de Valladolid.

Actividad:

La siguiente gráfica muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo de Valladolid. En el eje horizontal hemos representado las horas del día y en el eje vertical, las temperaturas.

Cuando éstas aumentan decimos que la función es creciente. Cuando disminuyen, diremos que es decreciente.

En aquellos puntos de la gráfica de una función donde pasa de ser decreciente a ser creciente decimos que alcanza un mínimo. En los puntos que pasa de ser creciente a ser decreciente alcanza un máximo.

Haz click con el ratón en los puntos de la gráfica de los que quieras saber sus coordenadas y contesta:

a) ¿Qué temperatura hizo a las 0 horas? ¿Y a las 10 horas?

b) ¿A qué hora había 0º?

c) ¿A qué hora se alcanzó la temperatura máxima del día?¿Cuál fue la temperatura máxima?

d) ¿A qué hora se alcanzo la temperatura mínima del día? ¿Cuál fue la temperatura mínima?

e) ¿En que periodo del día subió la temperatura? ¿En qué periodo bajó? ¿En qué periodos se mantuvo constante?

f) ¿En qué período del día hubo una temperatura por debajo de 0º?

g) Construye una tabla con las temperaturas que se registraron a lo largo del día.

Hora	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
Temperatura

2. Construye una grafica que cumpla ciertas condiciones de crecimiento, de máximos y mínimos.

Actividad:

En la siguiente escena se representa la gráfica de una función creciente en el intervalo [0,8], decreciente en el intervalo [8,16] y creciente de nuevo en el intervalo [16,24]. La función alcanza un máximo en el punto B y un mínimo en el punto C.

Arrastra los puntos A, B, C y D para representar gráficas con las siguientes características. En cada caso, escribe en tu cuaderno en qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente:

a) Pasa por los puntos (0,3) y (24,0), alcanza un máximo en el punto (8,6), un mínimo en el punto (16,-5).

b) Pasa por el punto (0,5) y se mantiene constante en todo el intervalo [0, 8], alcanza un mínimo en (16, -1) y un máximo en (24,8).

3. Autoevaluación.

Actividad:

Ejercicios

Ejercicios: Crecimiento. Máximos y mínimos

1. En la siguiente función, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos.

Solución:

En $[-4, -2]\;\!$ la función es decreciente, en $[-2, 0]\;\!$ es creciente, en $[0, 3]\;\!$ es decreciente y en $[3, 5]\;\!$ creciente.
Tiene un máximo en (0,5) y mínimos en (-2,-3) y (3,-4).

Tendencias

Decimos que una función $y=f(x)\;$ tiende a un valor $y_o\;$ cuando la variable independiente tiende a un valor $x_o\;$ , si los valores de la variable $y\;$ se acercan a $y_o\;$ cuando la variable $x\;$ se acerca a $x_o\;$ .

Simbólicamente:

$\lim_{x \to x_o} f(x)=y_0$

En la anterior expresión la tendencia de la variable independiente puede ser a $+\infty$ o $- \infty$ en vez de $x_o\;$ . Igualmente, la tendencia de la variable dependiente puede ser a $+\infty$ y $- \infty$ en vez de a un valor $y_o\;$ .

Así cuando, por ejemplo, la variable $x\;$ se haga infinitamente grande y los correspondientes valores de la función se acerquen a un valor $y_o\;$ , escribiremos:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)=y_0$

Tendencia de una función Descripción:

En esta escena podrás estudiar la tendencia de una función que relaciona la temperatura de un recipiente de agua que se va enfriando y el tiempo que ha transcurrido.

Actividad 1: Tendencias Descripción:

Estudia la tendencia del crecimiento de una población de búhos:

En ocasiones nos interesa saber cómo se comporta la función cuando la variable independiente aumenta mucho o disminuye mucho o cuando se acerca a una valor concreto. A los valores a los que se aproxima es lo que llamamos tendencia de la función. Observa la gráfica de la población de búhos (en miles) en un territorio en función del tiempo. Mueve el punto P para ayudarte a contestar las preguntas:

Observa que la población de búhos se estabiliza en un valor según pasa el tiempo; luego la tendencia de la población es ese valor. Resulta al hacer cada vez más grande el valor de la variable independiente.

a) ¿Cuál es ese valor? (Nota: En el eje Y, 1 cuadrito = 1 millar de búhos)

Lo mismo ocurre cuando se hace cada vez más negativa la variable independiente, aunque esta tendencia no es el mismo valor.

b) ¿Cuál es ese valor?

Actividad 2: Tendencias Descripción:

Estudia la tendencia de la siguiente función:

La tendencia de una función se estudiar también cuando la x se acerca a un número real en vez de a (+/-)infinito. En la escena siguiente recorre la función con el punto P y apunta en tu cuaderno las tendencias de la función.

a) ¿Cuál es el número al que se aproxima cuando la x se hace muy grande, es decir se aproxima a infinito $(+\infty)$ ?

b) ¿Y si x se hace muy grande negativamente, es decir, se aproxima a $- \infty$ ?

c) ¿A qué valor tiende la función cuando nos aproximamos a 2?

Tendencia de una función

Ejercicio 1 (1'11") Sinopsis:

Estudio de las tendencias de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'10") Sinopsis:

Estudio de las tendencias de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'29") Sinopsis:

Estudio de las tendencias de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'18") Sinopsis:

Estudio de las tendencias de una función a partir de su gráfica.

Tendencia de una función

Actividad: Tendencia de una función

a) Averigua la tendencia de la función $f(x)=\cfrac{1}{x}\;$ . cuando $x\;$ se hace infinitamente grande.

b) Observa lo que ocurre en el apartado anterior dibujando la función desde x=0 a x=100000.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) limit x to +oo 1/x

b) plot 1/x {x,0,100000}

Ejercicio Resuelto: Tendencia de una función

1. Compramos un coche por 12.000 €, y cada año que pasa su precio se devalua un 20%.

a) Haz una tabla que exprese el precio del coche durante los próximos años.

b) Representa gráficamente los resultados del apartado a).

c) Encuentra una fórmula que exprese esta función.

d) ¿Cómo es la variable independiente: continua o discreta?

e) ¿Cuál es el dominio de esta función?. ¿Y su imagen?

f) ¿Cual es la tendencia de esta función segun pasan los años?

g) Describe el crecimiento e indica si tiene máximos o mínimos.

Solución:

a) Tabla de valores:

x	0	1	2	3	4	5	6	7
y	12.000	9.600	7.680	6.144	4.915,2	3.932,2	3.145,7	2.516,6

b) Representación gráfica:

c) Continua.

d) $y=12000 \cdot 0,8^x \quad$ (€)

e) $D=\mathbb{R}^+$ ; $Im=[12.000, \ 0)$ .

f) La función tiende a 0 a medida que transcurre el tiempo.

g) Es decreciente en todo su dominio. Tiene un máximo en

x = 0

y no tiene mínimos.

h) No es periódica.

Periodicidad

Una función es periódica si su gráfica se va repitiendo a intervalos. Al menor valor posible, T, de la longitud de dicho intervalo, se le llama periodo.

Se cumple:

$f(x)=f(x+T),\quad \forall x \in Dom_f$

Periodicidad de una función Descripción:

Actividades con las que aprenderás a determinar si una función es periódica y a hallar su período a partir de su gráfica.

Funciones periódicas

Actividad: Funciones periódicas

En próximos cursos estudiarás las funciones trigonométricas, como las funciones seno o coseno. A continuación podrás ver su aspecto y su período:

a) Período de la función seno.

b) Período de la función coseno.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) period sin(x)

b) period cos(x)

Ejercicio (3'41") Sinopsis:

Estudio de la periodicidad de una función dada por una gráfica.

Simetrías

Continuidad

Cuando la gráfica de una función tiene saltos bruscos (no se puede dibujar de un solo trazo) decimos que es discontinua. En caso contrario se dice que es continua. Los puntos donde se producen los saltos se llaman discontinuidades.

Actividad interactiva: Continuidad

1. Autoevaluación.

Actividad:

Ejercicios

Ejercicios: Continuidad

1. De las siguientes funciones, indica cuáles son continuas y cuáles no. Enumera las discontinuidades.
a) b) c)

Solución:

Las funciones a) y c) son continuas. La b) es discontinua con discontinuidades en

x = - 1

x = 3

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Estudio_gr%C3%A1fico_%28PACS%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

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