Límite de una función en un punto (1ºBach)

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Límite de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

Aproximación a un punto

  • Decimos que x\; tiende a c\; por la izquierda (x \rightarrow c^-) cuando a x\; se le dan valores menores que c\;, cada vez más próximos a c\;.
  • Decimos que x\; tiende a c\; por la derecha (x \rightarrow c^+) cuando a x\; se le dan valores mayores que c\;, cada vez más próximos a c\;.
  • Decimos que x\; tiende a c\; (x \rightarrow c) cuando a x\; se le dan valores cada vez más próximos a c\;.

Límites laterales y límite de de una función en un punto

Dada una función f(x)\;, cuando la variable independiente x\; se aproxima a un cierto punto c\;, ya sea por la derecha o por la izquierda, f(x)\; va tomando valores que pueden aproximarse o no a un cierto punto. Diremos que:

  • Una función f(x)\; tiene límite por la izquierda en un punto c\;, si existe un número L^- \in \mathbb{R}, de manera que cuando x \rightarrow c^-\;, los correspondientes valores f(x) \rightarrow L^-. Lo representaremos:
\lim_{x \to c^-} f(x)=L^-
  • Una función f(x)\; tiene límite por la derecha en un punto c\;, si existe un número L^+ \in \mathbb{R}, de manera que cuando x \rightarrow c^+\;, los correspondientes valores f(x) \rightarrow L^+. Lo representaremos:
\lim_{x \to c^+} f(x)=L^+
  • Una función f(x)\; tiene límite en un punto c\;, si existe un número L \in \mathbb{R} de manera que tanto su límite por la derecha, como su límite por la izquierda, existen y coinciden con L\;, es decir, cuando L^+=L^-=L\;. Simbólicamente:


\lim_{x \to c^-} f(x)=\lim_{x \to c^+} f(x)=L

Continuidad de una función en un punto

Tipos de discontinuidades

ejercicio

Ejemplos: Discontinuidad evitable


ejercicio

Ejemplos: Discontinuidad de primera especie


ejercicio

Ejemplos: Criterios de continuidad


Herramientas personales
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