Límite de una función en un punto (1ºBach)
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El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.
Aproximación a un punto
- Decimos que
tiende a 
por la izquierda (
) cuando a se le dan valores menores que , cada vez más próximos a .
- Decimos que tiende a por la derecha (
) cuando a se le dan valores mayores que , cada vez más próximos a .
- Decimos que tiende a (
) cuando a se le dan valores cada vez más próximos a .
Límite de de una función en un punto
Dada una función 
, cuando la variable independiente se aproxima a un cierto punto , ya sea por la derecha o por la izquierda, va tomando valores que pueden aproximarse o no a un cierto punto. Diremos que:
- Una función tiene límite por la izquierda en un punto , si existe un número
, de manera que cuando 
, los correspondientes valores 
. Lo representaremos:
- Una función tiene límite por la derecha en un punto , si existe un número
, de manera que cuando 
, los correspondientes valores 
. Lo representaremos:
- Una función tiene límite en un punto , si existe un número
de manera que
y lo representaremos:
Nótese que aunque existan los límites laterales, si estos no coinciden, el límite no existe.
Límites infinitos
El concepto de límite visto en el apartado anterior puede extenderese al caso en que, al aproximarnos al punto , la función se aproxime a 
ó 
.
- Una función tiende a por la izquierda de un punto , si se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables, cuando . Lo representaremos:
- Una función tiende a por la derecha de un punto , si se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables, cuando . Lo representaremos:
- Una función tiende a en un punto , si
y lo representaremos:
- De forma análoga se puede definir la tendencia a si cambiamos la frase "se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables" por "se aproxima a valores negativos cada vez más pequeños y no acotables", en los tres casos.
- En todos estos casos diremos que la función tiene una asíntota vertical en el punto
.
Continuidad de una función en un punto
Una función es continua en un punto , si se cumple que:
Para que ésto se cumpla deben ocurrir las tres condiciones siguientes:
- La función tiene límite en :
- La función está definida en : Existe
- Los dos valores anteriores coinciden:
Tipos de discontinuidades
Discontinuidad evitable
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto si existe 
pero éste no coincide con , bien porque no esté definida en o bien porque simplemente sean distintos.
Ejemplos: Discontinuidad evitable
Discontinuidad de primera especie
Una función tiene una discontinuidad inevitable de salto finito (o de primera especie) si existen los límites laterales, pero estos no coinciden
Ejemplos: Discontinuidad de primera especie
Discontinuidad de segunda especie
Una función tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito (o de segunda especie) si no existe alguno de los límites laterales, bien porque este sea infinito o porque simplemente no exista.
Estudio de la continuidad de una función
Ejemplos: Criterios de continuidad
