Estrategia de la altura para resolver triángulos oblicuángulos (1ºBach)
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Estrategia de la altura
La estrategia de la altuta es un método para resolver triángulos oblicuángulos que consiste en elegir convenientemente una de las alturas del triángulo, de manera que ésta lo divida en dos triángulos rectángulos que puedan resolverse con los datos que nos den.
Cálculo de la altura y del área de un triángulo oblicuángulo
Altura y área de un triángulo
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- Altura: Consideremos un triángulo oblicuángulo ABC como el de la figura adjunta. Si conocemos el ángulo y el lado ), podemos obtener el valor de la altura utilizando el seno del ángulo dado.
- Área: Consideremos un triángulo oblicuángulo ABC anterior. Teniendo en cuenta el valor de la altura que hemos obtenido en la demostración anterior, tenemos:
Cálculo de las proyecciones de los lados de un triángulo sobre la base
Proyecciones sobre la base
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Consideremos un triángulo oblicuángulo ABC como el de la figura adjunta. Si conocemos el ángulo y el lado ), podemos obtener el valor de la proyección sobre la base, utilizando el coseno del ángulo :
Analogamente para la proyección :
Método de doble observación
El método de doble observación se utiliza cuando tenemos que hallar una altura de un objeto y tenemos como datos dos ángulos de observación desde dos puntos que están separados una distancia también conocida. También el dato conocido puede ser la altura y lo que tenemos que hallar es la distancia entre los puntos de observación.
Supongamos que los dos puntos de observación son A y B y que queremos hallar la distancia que hay entre ellos. Supongamso conocidos los ángulos A y B y la altura h. Plantearemos el siguiente sistema de ecuaciones para determinar m y n: |
El problema puede variar en cuanto a los datos y a las incógnitas, pero mantiene como técnica el aplicar la tangente a los dos ángulos observados para plantear un sistema similar al anterior.
Ejemplo: Método de doble observación
Con objeto de determinar la altura de un árbol situado en un lugar inaccesible, se dispone un teodolito en un punto accesible y desde el mismo se lanza una visual al punto más alto del árbol, obteniéndose un ángulo de inclinación de 22º 47'.
A continuación, se adelanta el teodolito una distancia de 10 m en dirección al árbol y se vuelve a lanzar otra visual al mismo punto, obteniéndose, en este caso, un ángulo de 31º 19'. Calcula la altura del árbol, considerando que el anteojo del teodolito está a 1.5 m del suelo. |
La altura del árbol será , siendo la altura del teodolito, es decir, . Ahora bien, en el triángulo :
Por otra parte, en el triángulo BAC:
Llamando , obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
equivalente a:
Que podemos resolver por el método de igualación despejando x en ambas ecuaciones:
Por tanto, la altura del árbol es:
Ejercicios
Actividad interactiva: Estrategia de la altura
Actividad 1: Triángulos isósceles
Actividad:
Actividad 2: Otras aplicaciones.
Actividad:
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