Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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Teorema de los senos

ejercicio

Teorema de los senos

En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:

\cfrac{a}{sen \, \hat A}=\cfrac{b}{sen \, \hat B}=\cfrac{c}{sen \, \hat C}
Demostración:
El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento \overline{BO} hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro \overline{BP}.

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que \overline{BP} es un diámetro, y además los ángulos \hat A y \hat P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento \overline{BC}. Por la definición de seno, se tiene

sen \, \hat A=sen \, \hat P=\cfrac{\overline{BC}}{\overline{BP}} = \cfrac{a}{2R}

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

\frac{a}{sen \, \hat A} = 2R
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

Teorema del coseno

ejercicio

Teorema del coseno

En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:

a^2=b^2+c^2-2bc \, cos \, \hat A

Y analogamente:

b^2=a^2+c^2-2ac \, cos \, \hat B

c^2=a^2+b^2-2bc \, cos \, \hat C
Demostración:

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Resoluci%C3%B3n_de_tri%C3%A1ngulos_cualesquiera_%281%C2%BABach%29"
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