Números complejos: Forma polar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Módulo y argumento de un número complejo

Dado un número complejo z=a+bi\,


  • El módulo de z\, es la longitud del vector que lo representa, es decir, la distancia entre el afijo (a,b)\, y el origen (0,0)\,). Se designa por |z|\,.
  • El argumento de z\, (z \ne 0), es el ángulo que forma el vector con el eje X . Se designa por arg(z)\,. (Si z=0\,, su argumento es 0).
Imagen:complejopolar.jpg

Forma polar de un número complejo

La forma polar del número complejo z\,, se designa r_\phi \,, siendo r=|z|\, y \phi=arg(z)\,.

Paso de forma binómica a polar

Dado un número complejo z=a+bi\, su forma polar r_\phi \, se obtiene de la siguiente manera:


  • \phi=arctg \, \cfrac{b}{a}
Imagen:complejopolar2.png

ejercicio

Ejemplo: Paso de forma binómica a polar

Pasa a forma polar el número complejo z=2+2i\,
Solución:
Calculamos el módulo:
r = |z| = \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}
Calculamos el argumento:
\phi=arctg \, \cfrac{2}{2}=45^\circ
Por tanto, su forma polar es:
z=\sqrt{8}_{45^\circ}

ejercicio

Actividad interactiva: Forma polar de un complejo

Actividad 1: Paso de forma binómica a polar.
Actividad:
En esta escena puedes pasar un complejo de forma binómica a polar. Puedes variar los valores de a y b o mover el afijo con el ratón.
Click aquí si no se ve bien la escena

EJERCICIO:

Pasa los siguientes números complejos a forma polar, y comprueba tus resultados en esta escena:

1+2i , \quad -2+3i , \quad -3-i , \quad 5-4i

Paso de forma polar a binómica

Dado un número complejo r_\phi \,, su forma binómica a+bi\, se obtiene de la siguiente manera:

  • a=r \cdot cos \, \phi
  • b=r \cdot sen \, \phi

ejercicio

Ejemplo: Paso de forma polar a binómica

Pasa a forma binómica el número complejo z=2_{30^\circ}
Solución:
Calculamos la parte real:
a=2 \cdot cos \, 30^\circ=2 \, \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}
Calculamos su parte imaginaria:
b=2 \cdot sen \, 30^\circ=2 \, \cfrac{1}{2}=1
Por tanto, su forma binómica es:
z=\sqrt{3}+i

Forma trigonométrica de un número complejo

Según lo visto en el apartado anterior:

z=a+bi= r \cdot cos \, \phi + r \cdot sen \, \phi \cdot i=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)

Se llama forma trigonométrica de un número complejo, a la expresión

z=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)

ejercicio

Ejemplo: Forma trigonométrica de un complejo

Pasa a forma trigonométrica el número complejo z=2_{60^\circ}
Solución:
Tan sólo hay que aplicar la fórmula:
z=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)=2 \, (cos \, 60^\circ + i \, sen \, 60^\circ)

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