Vectores: Coordenadas (1ºBach)

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Base de vectores en el plano

Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ , con distintas direcciones, cualquier vector del plano, $\overrightarrow{v}$ , se puede poner como combinación lineal de ellos: $\overrightarrow{v}=a \overrightarrow{x}+b \overrightarrow{x}$ .
Esta combinación lineal es única, es decir, sólo existen dos números $a\,$ y $b\,$ para los que se cumple la igualdad anterior.

Estos resultados permiten dar la siguiente definición:

Se llama base de un conjunto de vectores del plano a dos vectores $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ , con distintas direcciones. La representaremos por $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ .

De esta manera, los resultados anteriores se pueden reenunciar de la siguiente manera:

Teorema de la base

Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores de una base, de forma única.

Si los dos vectores de una base del plano son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base ortogonal. Si además ambos tienen módulo 1, se dice que forman una base ortonormal

Coordenadas de un vector respecto de una base

Dada una base del plano $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ , cualquier vector $\overrightarrow{v}$ se puede poner como combinación lineal de los vectores de dicha base, de forma única:

$\overrightarrow{v}=a \overrightarrow{x}+b \overrightarrow{x}$

El par de números $(a,b)\,$ , diremos que son las coordenadas del vector $\overrightarrow{v}$ respecto de la base $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ y lo expresaremos $\overrightarrow{v}=(a,b)$ , o bien, $\overrightarrow{v}(a,b)$ .
Las coordenadas de los vectores de la base son $\overrightarrow{x}(1,0)$ e $\overrightarrow{y}(0,1)$ , ya que $\overrightarrow{x}=1 \overrightarrow{x}+0 \overrightarrow{y}$ y $\overrightarrow{y}=0 \overrightarrow{x}+1 \overrightarrow{y}$ .

Actividad interactiva: Coordenadas de un vector respecto de una base

Actividad 1: En la escena siguiente vas a hallar las coordenadas de un vector respecto de una base ortogonal.

Actividad:

En esta escena tenemos la base ortogonal $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ y el vector $\overrightarrow{z}$ , que en principio tiene de coordenadas (2,3)\, respecto de dicha base, ya que $\overrightarrow{z}=2 \overrightarrow{x} + 3 \overrightarrow{y}$ .

Cambiando los valores de a y b puedes ver las distintas coordenadas que va teniendo los distintos vectores $\overrightarrow{z}$ y la combinación lineal de $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ que nos da $\overrightarrow{z}$ , pues $\overrightarrow{z}=a \overrightarrow{x} + b \overrightarrow{y}$ .

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

Representa al menos los vectores de coordenadas: $(-2, -3)\,$ , $(1, 1)\,$ , $(1, -1)\,$ , $(0.5, 2)\,$ , $(-1, 2.5)\,$ , respecto de la base $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ .

Actividad 2: En la escena siguiente vas a hallar las coordenadas de un vector respecto de una base que no es ortogonal.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Halla las coordenadas del vector $\overrightarrow{x}$ respecto de la base $B(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ :

Hay que formar un paralelogramo con las prolongaciones de los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ (Variando a y b), de tal forma que $\overrightarrow{x}$ sea una diagonal del mismo. Por tanto esta vez, te conviene prolongar $\overrightarrow{u}$ en el sentido opuesto y $\overrightarrow{v}$ en su mismo sentido.
A continuación tienes que trazar paralelas a $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ desde el extremo de $\overrightarrow{x}$ , A, para completar el paralelogramo.
Escribe en tu cuaderno $\overrightarrow{x}$ como combinación lineal de $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ .
Escribe las coordenadas de $\overrightarrow{x}$ respecto de la base $B(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ .

Operaciones con coordenadas

Sean $\overrightarrow{u}=(x_1,y_1)$ y $\overrightarrow{v}=(x_2,y_2)$ dos vectores del plano:

Suma de vectores: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
Producto por un número k: $k \overrightarrow{u}=(k \, x_1,k \, y_1)$
Combinación lineal: $a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v}=(a \, x_1+ b \, x_2, a \, y_1+b \, y_2)$

Actividad interactiva: Operaciones con coordenadas

Actividad 1: Coordenadas de la suma de dos vectores.

Actividad:

Comprueba en la siguiente escena como se obtienen las coordenadas de la suma de dos vectores respecto de la base ortonormal $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ .

$\overrightarrow{u}=(-2,3) \, \quad \overrightarrow{v}=(5,2) \quad \rightarrow \quad \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(-2+5,3+2)=(3,5)$

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Ejercicio:

Cambia el valor de los controles o mueve con el ratón los extremos de $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ para comprobar la suma para las siguientes coordenadas: $\overrightarrow{u}=(-4,0)$ y $\overrightarrow{v}=(4,3)$

Actividad 2: Coordenadas de la combinación lineal de dos vectores.

Actividad:

Comprueba en la siguiente escena como se obtienen las coordenadas de la combinación lineal de dos vectores, $\overrightarrow{u}=(-2,2)$ y $\overrightarrow{v}=(-3,1)$ ,respecto de la base ortonormal $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ .

$1.5 \overrightarrow{u}+2 \overrightarrow{v}=1.5 \, (-2,2)+ 2 \, (-3,-1)=(-3,3)+(-6,2)=(-9,1)$