Vectores: Producto escalar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Producto escalar de vectores
2 Propiedades del producto escalar
3 El producto escalar con bases ortonormales

Producto escalar de vectores

Se llama producto escalar de dos vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})$

Propiedades del producto escalar

Propiedad fundamental del producto escalar

Propiedad fundamental

Si cualquiera de los dos vectores, $\overrightarrow{u}$ o $\overrightarrow{v}$ , es $\overrightarrow{0}$ , entonces $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0$ .

Dados dos vectores no nulos, $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , se cumple que

$\overrightarrow{u} \bot \overrightarrow{v} \iff \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0$

Demostración:

La primera propiedad es inmediata.
Para la segunda propiedad, si ambos vectores no son nulos, entonces, para que el producto escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman, y esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.

Signo del producto escalar

Propiedades: signo del producto escalar

El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}>0$ si $\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}}$ es agudo.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}<0$ si $\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}}$ es obtuso.

Demostración:

Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.

Operaciones con el producto escalar

Propiedades de las operaciones

Propiedad conmutativa: $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$ .
Propiedad asociativa: $\lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})=(\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v})$ .
Propiedad distributiva: $\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$ .

Demostración:

Propiedad conmutativa:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})=_* |\overrightarrow{v}| \, |\overrightarrow{u}| \, cos \, (v,u)=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$

$(*) \, cos \, \alpha=cos \, (-\alpha) \rightarrow cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})=cos \, (\widehat{\overrightarrow{v}, \, \overrightarrow{u}})$

Propiedad asociativa:

$\lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})=\lambda \, |\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})$

$(\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}=|\lambda \, \overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\lambda \, \overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})=_*|\lambda | \, |\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \cdot \, signo(\lambda) \cdot cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})=\lambda \, |\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})$

$(*) \, cos \, (\widehat{\lambda \, \overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})=signo(\lambda) \cdot cos \, (\widehat{ \overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})$ , ya que el ángulo es igual si $\lambda>0\,$ y suplementario si $\lambda<0\,$ .

(Recuerda que ángulos suplementarios tienen cosenos opuestos).

Así tenemos una de las igualdades: $\lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})=(\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}$ . La otra igualdad se obtendría de forma similar.

Propiedad distributiva:

$\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})=|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}})=|\overrightarrow{u}| \cdot proy_\overrightarrow{u}(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})+|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{w}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{w}})=$

$=|\overrightarrow{u}|[|\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})+|\overrightarrow{w}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{w}})]=$

$=|\overrightarrow{u}| \cdot [proy_\overrightarrow{u} \overrightarrow{v}+proy_\overrightarrow{u} \overrightarrow{w}]=|\overrightarrow{u}| \cdot [proy_\overrightarrow{u} (\overrightarrow{v}+ \overrightarrow{w})]$

Obteniendo la igualdad buscada.

Proyección de vectores y producto escalar

Llamaremos proyección del vector $\overrightarrow{v}$ sobre el vector $\overrightarrow{u}$ , al número

$proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}=|v| \, \cos \, \alpha \qquad$

siendo $\alpha= \widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}}$ .

Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea $cos \, \alpha$ .

Proposición: Proyección de vectores

El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}$

Demostración:

Si observamos el dibujo de la derecha, tenemos que

$proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}|cos \, \alpha$

Entonces

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| cos \, \alpha=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}$

De la misma manera se obtiene la otra relación:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}$ </center>

Corolarios

Proyección de $\overrightarrow{u}$ sobre $\overrightarrow{v}$ :

$proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}$

Proyecciones coincidentes: Si las proyecciones sobre $\overrightarrow{v}$ de $\overrightarrow{u_1}$ y de $\overrightarrow{u_2}$ coinciden, entonces:

$\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{v}$

Demostración:

Corolario 1:

Es inmediato por la proposición anterior.

Corolario 2:

$\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u_1})=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u_2})=\overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{v}$

El producto escalar con bases ortonormales

Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

Proposición

Sea $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ una base ortonormal, entonces

$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{x}=1 \qquad \overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{y}=1 \qquad \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y}=0$

Demostración:

En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:

$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{x}=|\overrightarrow{x}| \, |\overrightarrow{x}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{x}, \, \overrightarrow{x}})=1 \cdot 1 \cdot 1=1$

$\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{y}=|\overrightarrow{y}| \, |\overrightarrow{y}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{y}, \, \overrightarrow{y}})=1 \cdot 1 \cdot 1=1$

$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y}=|\overrightarrow{x}| \, |\overrightarrow{y}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{x}, \, \overrightarrow{y}})=1 \cdot 1 \cdot 0=0$

Proposición

Si las coordenadas de los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , respecto de una base otonormal $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ son $\overrightarrow{u}(x_1,y_1)$ y $\overrightarrow{v}(x_2,y_2)$ , entonces:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2$

Demostración:

En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=(x_1 \overrightarrow{x}+y_1 \overrightarrow{y}) \cdot (x_2 \overrightarrow{x}+y_2 \overrightarrow{y})=$

$=(x_1 \, x_2)(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{x})+(x_1 \, y_2)(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y})+(y_1 \, x_2)(\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{x})+(y_1 \, y_2)(\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{y})=$

$=(x_1 \, x_2) \cdot 1+(x_1 \, y_2) \cdot 0+(y_1 \, x_2) \cdot 0+(y_1 \, y_2) \cdot 1=$

$=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2$

Ejemplo:

Dados los vectores $\overrightarrow{u}(2,-1)$ y $\overrightarrow{v}(3,2)$ , respecto de una base otonormal, vamos a calcular $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=(2,-1) \cdot (3,2)=2 \cdot 3 + (-1) \cdot 2=6-2=4$

Módulo de un vector en una base ortonormal

Módulo de un vector

El módulo de un vector $\overrightarrow{v}(v_1,v_2)$ , respecto de una base otonormal, es

$|\overrightarrow{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$

Demostración:

Si $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$ respecto de una base otonormal, entonces:

$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}=v_1 \, v_1 + v_2 \, v_2=v_1^2+v_2^2$

Por otro lado:

$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{v}, \, \overrightarrow{v}})=|\overrightarrow{v}|^2 \, cos \, 0=|\overrightarrow{v}|^2 \cdot 1=|\overrightarrow{v}|^2$

Igualando ambos resultados tenemos lo que buscamos.

Ejemplo:

Dado el vector $\overrightarrow{u}(2,-1)$ , respecto de una base otonormal, vamos a calcular $|\overrightarrow{u}|$ :

$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$

Ángulo de dos vectores en una base ortonormal

Ángulo entre dos vectores

Dados dos vectores, $\overrightarrow{u}(u_1,u_2)$ y $\overrightarrow{v}(v_1,v_2)$ , respecto de una base otonormal, se cumple que

$cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})=\cfrac{u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2} \, \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$

Demostración:

Si $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$ y $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$ , respecto de una base otonormal, entonces:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2 \qquad |\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2} \qquad |\overrightarrow{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$

Por otro lado:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}}) \quad \rightarrow \quad cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}|}$

Sustituyendo en esta última expresión las anteriores, tenemos lo que buscamos.

Ejemplo:

Dados los vectores $\overrightarrow{u}(2,-1)$ y $\overrightarrow{v}(3,2)$ , respecto de una base otonormal, vamos a calcular el ángulo que forman:

$cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}|}=\cfrac{4}{\sqrt{5} \, \sqrt{13}}=0.4961 \quad \rightarrow \quad \widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}}=60^\circ 15' 20''$