Haz de rectas en el plano (1ºBach)

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Haz de rectas de centro un punto

Llamamos haz de rectas de centro P al conjunto de todas las rectas que pasan por un punto P.

Proposición

El haz de rectas de centro $P(x_0,y_0)\,$ es :

$a \,(x-x_0)+b \, (y-y_0)=0$

donde $a\,$ y $b\,$ son parámetros que, al darles valores, nos permiten obtener las distintas ecuaciones de las rectas que constituyen el haz. (Salvo el caso $a=b=0\,$ que no dá ninguna ecuación)

Demostración:

Es evidente que cualquier recta del haz pasa por el punto P, puesto que al sustituir las coordenadas del punto en la expresión del haz, siempre se verifica la ecuación.

Faltaría ver si cualquier recta que pase por el punto P se puede expresar como recta del haz. Para ello, consideremos una recta cualquiera que pase por el punto P. La ecuación de ésta será:

Si $d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0 \, : \quad \cfrac{x-x_0}{d_1}=\cfrac{y-y_0}{d_2}$ (ecuación continua)
Si $d_1=0 \, : \quad x=x_0$
Si $d_2=0 \, : \quad y=y_0$

Cada uno de estos tres casos se puede poner como una recta del haz, para valores de $a\,$ y $b\,$ adecuados:

$\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2} \;\; \rightarrow \;\; \cfrac{1}{d_1}(x-x_0)- \cfrac{1}{d_2}(y-y_0)=0 \;\; \rightarrow \; a=\cfrac{1}{d_1} \, ; \; b=\cfrac{1}{d_2}$
$x=x_0 \;\; \rightarrow \quad x-x_0=0 \;\; \rightarrow \; a=1 \, ; \; b=0$
$y=y_0 \;\; \rightarrow \;\; y-y_0=0 \;\; \rightarrow \; a=0 \, ; \; b=1$