Haz de rectas en el plano (1ºBach)

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Haz de rectas de centro un punto

Llamamos haz de rectas de centro P al conjunto de todas las rectas que pasan por un punto P.

Proposición

El haz de rectas de centro $P(x_0,y_0)\,$ es :

$\big \{a \,(x-x_0)+b \, (y-y_0)=0 \, , \quad a, \, b \in \mathbb{R}\big \}$

Los parámetros $a\,$ y $b\,$ , al darles valores, nos permiten obtener las distintas ecuaciones de las rectas que constituyen el haz, siempre que no sean simultaneamente nulos.

Demostración:

Es evidente que cualquier recta del haz pasa por el punto P, puesto que al sustituir las coordenadas del punto en la expresión del haz, siempre se verifica la ecuación.

Faltaría ver si cualquier recta que pase por el punto P se puede expresar como recta del haz. Para ello, consideremos una recta cualquiera que pase por el punto P. La ecuación de ésta será:

a) Si $d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0 \, : \quad \cfrac{x-x_0}{d_1}=\cfrac{y-y_0}{d_2}$ (ecuación continua)

b) Si $d_1=0 \, : \quad x=x_0$

c) Si $d_2=0 \, : \quad y=y_0$

Cada uno de estos tres casos se puede poner como una recta del haz, para valores de $a\,$ y $b\,$ adecuados:

a) $\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2} \;\; \rightarrow \;\; \cfrac{1}{d_1}(x-x_0)- \cfrac{1}{d_2}(y-y_0)=0 \;\; \rightarrow \; \begin{cases} a=\cfrac{1}{d_1} \\ b=\cfrac{1}{d_2} \end{cases}$

b) $x=x_0 \;\; \rightarrow \quad x-x_0=0 \;\; \rightarrow \; \begin{cases} a=1 \\ b=0 \end{cases}$

c) $y=y_0 \;\; \rightarrow \;\; y-y_0=0 \;\; \rightarrow \; \begin{cases} a=0 \\ b=1 \end{cases}$

Proposición

El haz de rectas de centro $P(x_0,y_0)\,$ es :

$\big\{ y=y_0+m \, (x-x_0) \, , \quad m \in \mathbb{R} \big \} \, \cup \big \{ x=x_0 \big \}$

La pendiente $m\,$ es un parámetro que, al darle valores, nos permite obtener las distintas ecuaciones de las rectas que constituyen el haz.

Demostración:

Es evidente ya que la ecuación punto pendiente permite obtener la ecuación de una recta conocido eun punto y su pendiente. Así, si yo dejo fijo al punto y hago variar la pendiente, obtengo todas las rectas con todas las inclinaciones posibles que pasan por ese punto, a falta de $x=x_0\,$ , que al ser vertical se escapa a este procedimiento, ya que su pendiente es "infinita".

Actividad interactiva: Haz de rectas de centro un punto

Actividad 1: En la siguiente escena representaremos el haz de rectas de centro un punto.

Actividad:

Modifica la pendiente y observa como se obtienen las distintas ecuaciones del haz de rectas de centro P(5,4):

Click aquí si no se ve bien la escena

Proposición

Dadas dos rectas que se corten en un punto P: $\begin{cases} r: \, Ax+By+C=0 \\ s: \, A'x+B'y+C'=0 \end{cases}$ .

La ecuación del haz de centro P es:

$\big \{ k \, (Ax+By+C)+k' \, (A'x+B'y+C')=0 \, , \quad k, \, k' \in \mathbb{R}\big \}$

Lo parámetros $k\,$ y $k'\,$ , al darles valores, nos permiten obtener las distintas ecuaciones de las rectas que constituyen el haz, siempre que no sean simultaneamente nulos.