La circunferencia (1ºBach)

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Circunferencia

La circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $X\,$ , cuya distancia al centro es $r\,$ .

$\big \{X \, , \; d(X,O)=r \big \}$

De la anterior definición, utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos:

La ecuación de la circunferencia de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ , es:

$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$

Proposición

La ecuación de una circunferencia de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ , es:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0 \,$

donde: $A=-2a \, , \; B=-2b \, , \; C=a^2+b^2-r^2$ .

Demostración:

Partiendo de la ecuación de la circunferencia:

$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\,$

Elevando al cuadrado ambos términos:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\,$

y desarrollando el radicando:

$x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2\,$

Agrupando términos:

$x^2+y^2-2ax-2bx+a^2+b^2-r^2=0\,$

y llamando $A=-2a \, , \; B=-2b \, , \; C=a^2+b^2-r^2$ , se tiene la ecuación.

Corolario

Dada la circunferencia de ecuación $x^2+y^2+Ax+By+C=0 \,$ , su centro y su radio vienen dados por:

$O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2}) \quad , \quad r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}$

Demostración:

Es inmediato a partir de la proposición anterior, despejando $a\,$ , $b\,$ y $r\,$ .