La circunferencia (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Circunferencia
2 Ecuación de la circunferencia
3 Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia
4 Posiciones relativas de dos circunferencias

Circunferencia

La circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $X\,$ , cuya distancia al centro es $r\,$ .

$\big \{X \, , \; d(X,O)=r \big \}$

Ecuación de la circunferencia

Proposición

La ecuación de la circunferencia de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ , es:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\,$

Demostración:

Partiendo de la definición de circunferecia y utilizando la definición de distancia:

$d(X,O)=r \; \rightarrow \; \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\,$

obtenemos la fórmula buscada.

Proposición

La ecuación de una circunferencia de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ , es:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0 \,$

donde: $A=-2a \, , \; B=-2b \, , \; C=a^2+b^2-r^2$ .

Demostración:

Partiendo de la ecuación de la circunferencia:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\,$

y desarrollando los cuadrados:

$x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2\,$

Agrupando términos:

$x^2+y^2-2ax-2bx+a^2+b^2-r^2=0\,$

y llamando $A=-2a \, , \; B=-2b \, , \; C=a^2+b^2-r^2$ , se tiene la ecuación.

Corolario

Dada la circunferencia de ecuación $x^2+y^2+Ax+By+C=0 \,$ , su centro y su radio vienen dados por:

$O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2}) \quad , \quad r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}$

Demostración:

Es inmediato a partir de la proposición anterior, despejando $a\,$ , $b\,$ y $r\,$ .

Actividad Interactiva: Ecuación de la circunferencia

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la ecuación de la circunferencia de centro $O(-3,0)\,$ y radio $r=5\,$ .

Actividad:

Hallamos la ecuación de la cirecunferencia:

$(x+3)^2+(y-0)^2)=25\,$

Desarrollando los cuadrados;

x 2 + 6 x + 9 + y 2 = 25

x 2 + y 2 + 6 x - 16 = 0

Su representación gráfica puedes verla en esta escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

Mueve el centro y varía el radio para dibujar otras circunferencias.

Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia

Una recta $r: \, Ax+By+C=0$ y una circunferencia $s: \, x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0$ pueden ser:

Secantes: si se cortan en 2 puntos.
Tangentes: si se cortan en un punto.
Exteriores: si no se cortan.

Los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema: $\begin{cases} Ax+By+C=0 \\ x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0 \end{cases}$

Actividad Interactiva: Posición relativa de recta y circunferencia

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la posición relativa de la recta $r: \, 2x-y+1=0$ y la circunferencia $C: \, x^2+y^2-2x-2y-2=0$ .

Actividad:

Para poder comprobar los resultados en la escena, vamos a poner la ecuación de la recta en forma explícita,

$r: \, 2x-y-1=0 \; \rightarrow \; y=2x+1 \; \rightarrow \; m=2 \, , \; n=1$

Y a partir de la ecuación de la circunferencia tenemos que hallar su centro y su radio, ya que la escena también nos lo exige:

$C: \, x^2+y^2-2x-2y-2=0\; \rightarrow \; \begin{cases} O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})=(1,1) \; \rightarrow \; a=1 \, , \; b=1 \\ \\ r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}=\sqrt{1^2+1^2+2}=2 \end{cases}$

Su representación gráfica puedes verla en la escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

Los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema:

$\begin{cases} y=2x+1 \\ x^2+y^2-2x-2y-2=0 \end{cases}$

Lo resolvemos por sustitución:

$x^2+(2x+1)^2-2x-2(2x+1)-2=0\;$

$x^2+4x^2+4x+1-2x-4x-2-2=0\;$

$5x^2-2x-3=0 \; \rightarrow \; \begin{cases} x_1=1 \; \rightarrow \; y_1=3 \\ x_2=-\cfrac{3}{5} \; \rightarrow \; y_2=-\cfrac{1}{5} \end{cases}$

Los puntos de corte son: $(1,3)\,$ y $(-\cfrac{3}{5},-\cfrac{1}{5})\,$

Ejercicio:

Halla la posición relativa de la recta $r: \, x-y=0$ y la circunferencia $C: \, x^2+y^2-2x=0$ . Comprueba los resultados en la escena anterior.

Posiciones relativas de dos circunferencias

Dos circunferencias pueden ser:

Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.

Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.

Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.

Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. En realidad no se trata de dos circunferencias distintas, sino de una misma. Si dos circunferencias se cortan en más de dos puntos, necesariamente son circunferencias coincidentes.

Si sus ecuaciones son:

$\begin{cases} C_1: \; x^2+y^2+Ax+By+C=0 \\ C_2: \; x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0 \end{cases}$

los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema.

Actividad Interactiva: Posición relativa de dos circunferencias

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la posición relativa de las circunferencias:

$C_1: \, x^2+y^2+6x+2y+1=0$

$C_2: \, x^2+y^2-2x-4y+1=0$ .

Actividad:

Los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema:

$\begin{cases} x^2+y^2+6x+2y+1=0 \\ x^2+y^2-2x-4y+1=0 \end{cases}$

Sustituyendo la segunda ecuación por la resta de ambas, obtenemos el siguiente sistema equivalente:

$\begin{cases} x^2+y^2+6x+2y+1=0 \\ 4x-2y+2=0 \end{cases} \begin{cases} x^2+y^2+6x+2y+1=0 \\ 8x+6y=0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x^2+y^2+6x+2y+1=0 \\ y=-\cfrac{4x}{3} \end{cases}$

Simplificamos:

$\begin{cases} x^2+y^2+6x+2y+1=0 \\ 8x+6y=0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x^2+y^2+6x+2y+1=0 \\ y=-\cfrac{4x}{3} \end{cases}$

y resolvemos por sustitución:

$x^2+(-\cfrac{4x}{3})^2+6x+2(-\cfrac{4x}{3})+1=0\;$

$25x^2+86x+9=0\;$

$25x^2+30x+9=0 \; \rightarrow \; x=-\cfrac{3}{5}\; \rightarrow \; y=\cfrac{4}{5}$

Son tangentes porque sólo hay un punto de corte: $(-\cfrac{3}{5},\cfrac{4}{5})\,$ .

Para poder comprobar los resultados en la escena tenemos que hallar sus centros y sus radios:

$C_1: \, x^2+y^2+6x+2y+1=0\; \rightarrow \; \begin{cases} O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})=(-3,1) \\ \\ r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}=\sqrt{3^2+1^2-1}=3 \end{cases}$

$C_2: \, x^2+y^2-2x-4y+1=0\; \rightarrow \; \begin{cases} O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})=(1,2) \\ \\ r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}=\sqrt{1^2+2^2-1}=2 \end{cases}$