Potencia de un punto respecto de una circunferencia (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Potencia de un punto a una circunferencia
2 Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia
3 Eje radical de dos circunferencias
- 3.1 Construcción geométrica del eje radical
4 Centro radical de tres circunferencias

Potencia de un punto a una circunferencia

Se llama potencia del punto $P(p_1,p_2)\,$ respecto a la circunferencia $C\,$ de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ al número

$\mathcal{P}_C(P)=d(P,O)^2-r^2=(p_1 -a)^2+(p_2-b)^2-r^2$

Observa que la potencia de $P\,$ respecto a $C\,$ es el valor numérico de la expresión del lado izquierdo de la ecuación de la circunferencia:

$(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0\,$

Proposición

Sea $P(p_1,p_2)\,$ un punto del plano y una circunferencia $C\,$ . Sean $r_1\,$ úna recta que corta a C en dos puntos: $A\,$ y $A'\,$ y sea $r_2\,$ otra recta que corta a $C\,$ en otros dos puntos: $B\,$ y $B'\,$ . Entonces se cumple que:

$\overline{PA} \cdot \overline{PA'}=\overline{PB} \cdot \overline{PB'}=| \mathcal{P}_C(P) |$

Demostración:

En la siguiente figura se puede observar que los triángulos $PA'B\,$ y $PB'A\,$ son semejantes porque tienen un ángulo común, el ángulo en $P\,$ , y dos ángulos iguales, los ángulos en $A'\,$ y en $B'\,$ , por ser ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan el mismo arco $\widehat{AB}$ .

Por tanto, sus lados son proporcionales:

$\cfrac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=\cfrac{\overline{PB'}}{\overline{PA'}}$

De donde, multiplicando en cruz:

$\overline{PA} \cdot \overline{PA'}=\overline{PB} \cdot \overline{PB'}$

Para el caso en que l punto P pertenezca a la circunferencia:

$\overline{PA} \cdot \overline{PA'}=0=\overline{PB} \cdot \overline{PB'}$

Veamos ahora que también es igual a $|\mathcal{P}_C(P)|$ . Para ello vamos a considerar el siguiente gráfico, en el cual hemos tomado una recta r que pase por el centro de C y que la corta en dos puntos A y A', diametralmente opuestos:

Se tiene que:

Si P es exterior: $\overline{PA} \cdot \overline{PA'}=(d-r) \cdot (d+r)=d^2-r^2=\mathcal{P}_C(P)=|\mathcal{P}_C(P)|$ porque la potencia de un punto exterior es positiva.
Si P es interior: $\overline{PA} \cdot \overline{PA'}=(r-d) \cdot (r-d)=r^2-d^2=- \mathcal{P}_C(P)=|\mathcal{P}_C(P)|$ porque la potencia de un punto interior es negativa.
Si P pertenece a la circunferencia: $\overline{PA} \cdot \overline{PA'}=0 \cdot 2r=0=|\mathcal{P}_C(P)|$ porque la potencia de un punto de la circunferencia es cero.

Actividad interactiva: Potencia de un punto respecto a una circunferencia

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la potencia del punto P(6,4) respecto de la circunferencia de centro O(0,0) y radio r=3.

Actividad:

Calcula en tu cuaderno cuanto vale la potencia de ese punto respecto a la circunferencia y comprueba los resultados en la escena.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicios:

Calcula la potencia del punto P(-1,1) respecto de la circunferencia de centro O(-2,3) y radio 4.
Calcula la potencia del punto P(0,7) respecto de la circunferencia de centro O(0,2) y radio 5.

Comprueba los resultados en la escena anterior.

Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia

Dada una circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , un punto $P\,$ ,del plano puede ser:

Exterior a la circunferencia: si $d(P,O)>r\,$
Perteneciente a la circunferencia: si $d(P,O)=r\,$
Interior a la circunferencia: si $d(P,O)<r\,$

En el dibujo de la derecha: A es exterior, B pertenece y C es interior a la circunferencia.

Proposición

Dada una circunferencia $C\,$ y un punto $P\,$ del plano:

Si el punto es exterior a la circunferencia: $\mathcal{P}_C(P)>0$
Si el punto pertenece a la circunferencia: $\mathcal{P}_C(P)=0$
Si el punto es interior a la circunferencia: $\mathcal{P}_C(P)<0$

Demostración:

En efecto,

Si P es exterior a C $\rightarrow d(P,O)>r \rightarrow \mathcal{P}_C(P)=d(P,O)^2-r^2>0$
Si P pertenece a C $\rightarrow d(P,O)=r \rightarrow \mathcal{P}_C(P)=d(P,O)^2-r^2=0$
Si P es interior a C $\rightarrow d(P,O)<r \rightarrow \mathcal{P}_C(P)=d(P,O)^2-r^2<0$

Ejemplo: Posición relativa de un punto respecto a una circunferencia

Halla la posición relativa del punto $P(7,-4)\,$ respecto a la circunferencia $C: x^2+y^2-8x+3y+12=0\,$ .

Solución:

Calculemos la potencia de $P(7,-4)\,$ respecto a la circunferencia $C: x^2+y^2-8x+3y+12=0\,$ :

$\mathcal{P}_C(P)=7^2+(-4)^2-8 \cdot 7+3 \cdot (-4)+12=49+16-56-12+12=9>0 \rightarrow$ P es exterior a C.

Eje radical de dos circunferencias

Se llama eje radical de dos circunferencias no concéntricas (*), al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas circunferencias.

(*) El lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de dos circunferencias concéntricas es otra circunferencia concéntrica.

Ejemplo: Eje radical de dos circunferencias

Halla el eje radical de las circunferencias:

$C_1: x^2+y^2-6x+4y-11=0\,$

$C_2: x^2+y^2+8x-2y-1=0\,$ .

Solución:

Igualando la potencia de un punto genérico $P(x,y)\,$ respecto a cada circunferencia, tenemos:

$x^2+y^2-6x+4y-11=x^2+y^2+8x-2y-1\,$

Simplificando las potencias al cuadrado y reagrupando términos:

$-6x+4y-11=+8x-2y-1\,$

$-14x+6y-10=0\,$

Que es la ecuación de una recta, el eje radical de las dos circunferencias.

Proposición

El eje radical es una recta perpendicular a la recta determinada por los dos centros de las circunferencias.

Demostración:

Dadas las circunferencias dee ecuaciones:

$C: \; x^2+y^2+Ax+By+C=0$

$C': \; x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0$ ,

su eje radical se obtiene igualando los miembros de la izquierda de cada ecuación:

$x^2+y^2+Ax+By+C=x^2+y^2+A'x+B'y+C'\,$

Simplificando los términos al cuadrado y bpasando todos los términos al lado izquierdo de la ecuación, tenemos:

$(A-A')x+(B-B')y+(C-C')=0\,$

que es la ecuación implícita de una recta con vector normal $\overrightarrow{n}(A-A',B-B')\,$ .

La recta que une los centros $O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})$ y $O'(-\cfrac{A'}{2},-\cfrac{B'}{2})$ de las circunferencias, tiene vector director

$\overrightarrow{OO'}=(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})-(-\cfrac{A'}{2},-\cfrac{B'}{2})=(\cfrac{A'-A}{2},\cfrac{B'-B}{2})$

que es paralelo al vector normal del eje radical $\overrightarrow{n}\,$ .

Por tanto, el vector $\overrightarrow{OO'}$ es perpendicular al eje radical.

Construcción geométrica del eje radical

Construcción geométrica del eje radical

Si las circunferencias son exteriores, el eje radical se puede determinar trazando una perpendicular que pase por el punto medio (M en la figura) del segmento determinado por los puntos de contacto de la tangente a las circunferencias (puntos T1 y T2 en la figura).

Si las circunferencias son tangentes, el eje radical contiene el punto de intersección de ambas circunferencias y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias.

Si las circunferencias son secantes, el eje radical contiene los puntos de intersección de las circunferencias, puesto que ambos tienen potencia nula respecto de las circunferencias.

Si una de las circunferencias es interior, se puede obtener el eje radical trazando una circunferencia auxiliar secante a las circunferencias dadas (a en la figura). El punto de intersección de los ejes radicales auxiliares (C en la figura) tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas, por tanto, el eje radical será la recta que contiene al punto C y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias iniciales. (Se debe elegir la circunferencia auxiliar de tal forma que los ejes radicales auxiliares se corten dentro del papel del dibujo).

Actividad interactiva: Eje radical de dos circunferencias

Actividad 1: En la siguiente escena puedes ver como es el eje radical de dos circunferencias.

Actividad:

Obtén el eje radical en los casos de circunferencias secantes, tangentes, exteriores o interiores. Varía los valores de los parámetros y observa cómo es el eje radical en cada caso.

Click aquí si no se ve bien la escena

Centro radical de tres circunferencias

Centro radical de tres circunferencias es el punto del plano que tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias.

Cálculo del centro radical de tres circunferencias

Para determinar el eje radical de tres circunferencias, se halla la intersección del eje radical de una pareja de circunferencias con el eje radical de otro par de circunferencias.

Demostración:

Sean $C_1\,$ , $C_2\,$ y $C_3\,$ las tres circunferencias, y seaea $C_R\,$ el punto de intersección del $E_{1-2}\,$ (eje radical de $C_1\,$ y $C_2\,$ ) y $E_{2-3}\,$ (eje radical de $C_2\,$ y $C_3\,$ ).

Como $C_R\,$ pertenece a $E_{1-2}\,$ , $C_R\,$ tiene la misma potencia respecto a $C_1\,$ y $C_2\,$ . Y por pertenecer a $E_{2-3}\,$ , $C_R\,$ tiene la misma potencia respecto a $C_2\,$ y $C_3\,$ .

Por tanto, $C_R\,$ tiene la misma potencia respecto a las tres circunferencias.