La elipse (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Elementos de la elipse
2 Excentricidad de la elipse
3 Ecuación reducida de la elipse
4 Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y
5 Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas

Elementos de la elipse

Una una elipse de focos $F\,$ y $F'\,$ , con ejes de simetría $AA'\,$ y $BB'\,$ , que se cortan en el centro $O\,$ de la elipse, determina los siguientes segmentos:

$a=\overline{OA}=\overline{OA'}$ (semieje mayor).
$b=\overline{OB}=\overline{OB'}$ (semieje menor).
$c=\overline{OF}=\overline{OF'}$ (semidistancia focal).

Propiedades

$k=2a\,$ (constante de la elipse)
$a=\overline{BF}=\overline{BF'}$
$a^2=b^2+c^2\,$
$c<a\,$

Demostración:[Mostrar]

Excentricidad de la elipse

La escentricidad de la elipse es el cociente entre la distancia focal y el eje mayor:

$exc=\cfrac{c}{a}$

Propiedades

$0<exc<1\,$ .
La excentricidad mide el achatamiento de la elipse: cuanto más próxima a 1 más se parece a a una circunferencia.

Demostración:[Mostrar]

Ecuación reducida de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

La ecuación de una elipse con semieje mayor $a\,$ y semieje menor $b\,$ , con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1$

Demostración:[Mostrar]

Actividad interactiva: Ecuación reducida de la elipse

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la elipse de semiejes 5 y 9.

Actividad:[Mostrar]

Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y

Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y

La ecuación de una elipse con semieje mayor $a\,$ y semieje menor $b\,$ , con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:

$\cfrac{x^2}{b^2}+\cfrac{y^2}{a^2}=1$

Su excentricidad es: $exc=\cfrac{a}{c}$

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen

La ecuación de una elipse con semiejes $a\,$ y $b\,$ y centro $O(\alpha,\beta)\,$ es:

$\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1$

Actividad interactiva: Ecuación reducida de la elipse

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la elipse de centro O(3,-1) y semiejes 5 y 2.

Actividad:[Mostrar]

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Categorías: Matemáticas | Geometría

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