La hipérbola (1ºBach)

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La hipérbola

Dados dos puntos F\, y F'\, llamados focos, y una distancia k\,, llamada constante de la hipérbola (k < d(F,F')\,), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos P\, del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a k\,:

|d(P,F)-d(P,F')|=k\,

Elementos de la hipérbola

Una una elipse de focos F\, y F'\,, con asíntotas r\, y r'\,, con ejes de simetría AA'\, y su perpendicular pasando por su centro O\,, determina los siguientes segmentos:

  • a=\overline{OA}=\overline{OA'} (semieje).
  • c=\overline{OF}=\overline{OF'} (semidistancia focal).

ejercicio

Propiedades


  • k=2a\, (constante de la hipérbola)
  • c^2=a^2+b^2\,
  • c>a\,
  • Las asíntotas tienen pendientes \cfrac{b}{a} y -\cfrac{b}{a}.
Imagen:Hiperbola.png

Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia.

La excentricidad de la hipérbola es el cociente entre la distancia focal y el eje:

e=\cfrac{c}{a}

ejercicio

Propiedades


En una hipérbola e>1\,.

ejercicio

Actividad interactiva: Excentricidad de la hipérbola


Actividad 1: En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la hipérbola si modificamos su excentricidad.

Ecuaciones de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

ejercicio

Ecuación reducida de la elipse


La ecuación de una elipse con semieje mayor a\, y semieje menor b\,, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:

\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1

ejercicio

Actividad interactiva: Ecuación reducida de la elipse


Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la elipse de semiejes 5 y 9.

Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y

ejercicio

Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y


  • La ecuación de una elipse con semieje mayor a\, y semieje menor b\,, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:

\cfrac{x^2}{b^2}+\cfrac{y^2}{a^2}=1

  • Su excentricidad es: e=\cfrac{a}{c}

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas

ejercicio

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen


La ecuación de una elipse con semiejes a\, y b\, y centro O(\alpha,\beta)\, es:

\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1

ejercicio

Actividad interactiva: Ecuación reducida de la elipse


Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la elipse de centro O(3,-1) y semiejes 5 y 2.

Construcciones de la hipérbola

ejercicio

Actividad interactiva: Construcciones de la elipse


Actividad 1: Usando la definición de hipérbola como lugar geométrico.
Actividad 2: La hipérbola como envolvente (1).

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