La hipérbola (1ºBach)
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Tabla de contenidos |
La hipérbola
Dados dos puntos y
llamados focos, y una distancia
, llamada constante de la hipérbola (
), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos
del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a
:
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Elementos de la hipérbola
Una una elipse de focos
Propiedades
Demostración:
![]()
![]()
![]() |
Excentricidad de la hipérbola
La excentricidad es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia.
La excentricidad de la hipérbola es el cociente entre la distancia focal y el eje:
![e=\cfrac{c}{a}](/wikipedia/images/math/4/a/4/4a44d856123b5ccb0e0e6a4fbf23088b.png)
Propiedades
- En una hipérbola
.
Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que
![c>a \rightarrow \cfrac{c}{a}>1](/wikipedia/images/math/3/7/f/37fa13c3ca20267fc2ba7489f1f769e6.png)
Actividad interactiva: Excentricidad de la hipérbola
Actividad 1: En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la hipérbola si modificamos su excentricidad.
Actividad: Ejercicios: Modifica el valor de e (deslizando el punto verde) y observa los cambios.
Pulsa el botón Actualizar para recuperar la imagen inicial. Modifica el valor de a y observa los cambios.
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Ecuaciones de la hipérbola
Ecuación reducida de la hipérbola
Ecuación reducida de la hipérbola
- La ecuación de una hipérbola con semieje
, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:
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Sean y
los focos de la elipse. Cualquier punto P(x,y) de la misma cumple:
![|d(P,F)-d(P,F')|=2a\,](/wikipedia/images/math/7/f/8/7f89da211877e545072872ce0761136a.png)
Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática, y contemplando la posibilidad del doble signo que surge de suprimir el valor absoluto:
![\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a](/wikipedia/images/math/9/9/3/9938b0f798809aebf6f6a1b8f2c47ef1.png)
Pasamos la segunda raíz al segundo miembro:
![\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}](/wikipedia/images/math/2/1/d/21d6287aa30368ce278146be1b619e48.png)
Se elevan al cuadrado ambos miebros y se simplifica:
![x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+2cx+c^2+y^2 \pm 4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}](/wikipedia/images/math/9/7/f/97f0b37a5277baa58fe0b6f910026e9b.png)
![-4cx-4a^2=\pm 4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}](/wikipedia/images/math/d/d/2/dd299ef91445849bcbf7ae9cc8967aa6.png)
![cx+a^2=\pm a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}](/wikipedia/images/math/3/b/c/3bcdf92eb3887a7c492d4cc9a7a638a8.png)
Se elevan al cuadrado los dos miembros:
![c^2x^2+a^4+2ca^2x=a^2(x^2+c^2+2cx+y^2)\,](/wikipedia/images/math/5/f/0/5f0228c277977f676f9d1db6168ec52d.png)
Reordenando y agrupando términos:
![(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\,](/wikipedia/images/math/f/7/4/f74a2835e73f2b218915a18fbb36cbdb.png)
Teniendo en cuenta que :
![b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\,](/wikipedia/images/math/5/7/6/5767e2016721688c6fbb0ede82d5a0a5.png)
Dividiendo la expresión por :
se obtiene la cuación buscada:
![\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1](/wikipedia/images/math/f/c/4/fc498f67c3aa26217dd3156eee6727ec.png)
Actividad interactiva: Ecuación reducida de la hipérbola
Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la hipérbola semieje 4 y semidistancia focal 5.
Actividad: La ecuación reducida viene dada por la fórmula: ![]() Sustituyendo ![]() Puedes ver su gráfica en la siguente escena: Ejercicio:
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Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y
Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y
- La ecuación de una hipérbola con semieje
, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:
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Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas
Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen
- La ecuación de una elipse con semieje
y centro
es:
- Si el eje FF' es paralelo al eje X:
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- Si el eje FF' es perpendicular al eje X:
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Actividad interactiva: Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas
Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola de centro O(-3,1), semieje a=3 y semidistancia focal c=5.
Actividad: La ecuación viene dada por la fórmula: ![]()
![]() Puedes ver su gráfica en la siguente escena: Ejercicio:
Actividad 2 En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola con eje focal vertical de centro O(3,-1), a=2 y b=3.
Actividad: La ecuación viene dada por la fórmula: ![]()
![]() Puedes ver su gráfica en la siguente escena: Ejercicio:
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Construcciones de la hipérbola
Actividad interactiva: Construcciones de la hipérbola
Actividad 1: Usando la definición de hipérbola como lugar geométrico.
Actividad: En la siguiente escena, activa la traza, desliza el punto P y observa.
Actividad 2: La hipérbola como envolvente.
Actividad: Desliza el punto Q y observa los cambios. Activa el trazo de la recta y vuelve a deslizar Q
Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F y repite lo anterior.
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