La parábola (1ºBach)

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La parábola

Dados un punto $F\,$ llamado foco, y una recta $d\,$ , llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano que equidistán del foco y de la directriz:

$d(P,F)=d(P,d)\,$

Elementos de la elipse

Una una elipse de focos $F\,$ y $F'\,$ , con ejes de simetría $AA'\,$ y $BB'\,$ , que se cortan en el centro $O\,$ de la elipse, determina los siguientes segmentos:

$a=\overline{OA}=\overline{OA'}$ (semieje mayor).
$b=\overline{OB}=\overline{OB'}$ (semieje menor).
$c=\overline{OF}=\overline{OF'}$ (semidistancia focal).

Propiedades

$k=2a\,$ (constante de la elipse)
$a=\overline{BF}=\overline{BF'}$
$a^2=b^2+c^2\,$
$c<a\,$

Demostración:

La constante de la elipse es $k=2a\,$ , ya que, al ser $A\,$ un punto de la elipse:

$k=\overline{AF}+\overline{AF'}=\overline{AF}+\overline{A'F}=2a$

Por ser $B\,$ un punto de la elipse:

$\overline{BF}+\overline{BF'}=2a \rightarrow \overline{BF}=\overline{BF'}=a$

Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo $BOF\,$ , tenemos

$a^2=b^2+c^2\,$

Por ser $a\,$ la hipotenusa y $c\,$ un cateto, tenemos que $c<a\,$ .

Actividad interactiva: Propiedad de la elipse

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a ver una propiedad de la elipse en la que veremos como cualquier "rayo de luz" que parta de uno de sus su focos (considerando que la elipse se comporta como un espejo) se refleja en la elipse y va a parar al otro foco.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicios:

Desliza el punto verde hacia arriba.
- Describe lo que ves.
Utiliza el segundo deslizador para cambiar la dirección del "rayo" y repite la animación. Prueba a modificar también la forma de la elipse (arrastrando sus vértices).
- ¿Qué se puede decir de los rayos que salen de un foco de cualquier elipse y se reflejan en ella?
Arrastra el vértice derecho de la elipse hasta conseguir una circunferencia (elipse de excentricidad 0) y observa:
- ¿Qué ocurre con un rayo emitido desde el radio de una circunferencia reflejado en ella misma?
- ¿Qué ángulo forman el radio de una circunferencia y la tangente a la misma en el punto correspondiente?

Construcciones de la parábola

Actividad interactiva: Construcciones de la parábola

Actividad 1: Método basado en su definición como lugar geométrico.

Actividad:

Activa la traza, desliza el punto P y observa.

¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD?
¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?

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Actividad 2: La parábola como envolvente.

Actividad:

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Desliza el punto P y observa.

Activa el trazo de la perpendicular a PF por P y vuelve a deslizar el punto P

¿Cuál es la envolvente de la familia de esas rectas?, es decir, ¿cuál es la curva tangente a esa familia de rectas?

Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F o de la recta directriz y repite lo anterior.

¿De qué modo influye la posición de F y dir en la forma y posición de la parábola generada?

Actividad 3: La parábola generada por el centro de una circunferencia.

Actividad:

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Desliza el punto P y observa.

¿Cómo viene determinada la posición de la circunferencia en cada momento?
¿Qué se podrá decir de las distancias de su centro a la recta dir y F respectivamente?

Activa el trazo del centro de la circunferencia y vuelve a deslizar el punto P.