Plantilla:Funciones exponenciales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Función exponencial de base a
2 Propiedades
3 El crecimiento exponencial
4 Calculadora
- 4.1 Exponencial de base 10
- 4.2 Exponencial de base e

Función exponencial de base a

Sea $a>0 \ , (a \ne 1)$ un número real. Se define la función exponencial de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}^+ \\ \, \quad x & \rightarrow & a^x \end{matrix}$

La función exponencial de base $e = 2,7182...\;$ (número e) es de especial importancia en matemáticas y se denomina simplementre función exponencial, sin hacer mención a la base.

Actividad Interactiva: Función exponencial

Actividad 1. Representación gráfica de distintas funciones exponenciales.

Actividad:

En esta escena tienes las gráfica de las funciones:

a) $y = 2^x\;$ (en verde); b) $y = 3^x\;$ (en amarillo); c) $y = \left ( \frac{1}{2} \right )^x$ (en rojo); d) $y = \left ( \frac{1}{3} \right )^x$ (en turquesa)

Observa que las gráficas a) y c) son simétricas respecto del eje Y. Lo mismo ocurre con b) y d).

Click aquí si no se ve bien la escena

Prueba a cambiar también las funciones por otras. No olvides pulsar "Intro" al cambiar cada función.

Propiedades

Propiedades de la función exponencial

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en $\mathbb{R}$ .
Pasan por $(0,1)\;$ y $(1,a)\;$ .
Si $a>1\;$ son crecientes y si $0<a<1\;$ son decrecientes. Su crecimiento supera al de cualquier función potencia.
Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).

Actividad Interactiva: Propiedades de la función exponencial

Actividad 1. Comprueba las propiedades de las funciones exponenciales en la siguiente escena.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Comprueba en la escena anterior las siguientes propiedades:

Todas pasan por los punto $(0,1)\;$ y $(a,0)\;$ , donde $a\;$ es la base.
Si la base $a>1\;$ , son crecientes y si $0<a<1\;$ decrecientes.
Son siempre positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).
Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base.

Contesta:

¿Cuál es el dominio de estas funciones? o, lo que es lo mismo, ¿qué valores puede tomar la primera coordenada del punto azul?
¿Cuál es la imagen de estas funciones? o, lo que es lo mismo, ¿qué valores puede tomar la segunda coordenada del punto azul?
¿Cuál es el punto de corte de la gráfica con los ejes?

El crecimiento exponencial

El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud $M\;$ que crece con el tiempo $t\;$ de acuerdo con la ecuación:

$M_t = M_0 \cdot e^{rt} \,$

Donde:

$M_t\;$ es valor de la magnitud en el instante $t\;$ > 0;

$M_0\;$ es el valor inicial de la variable, valor en $t = 0\;$ , cuando empezamos a medirla;

$r\;$ es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre $t = 0\;$ y $t > 0\;$ ;

$e = 2,7182...\;$ (número e)

Esta expresión también podemos ponerla como una función exponencial de base $a\;$ haciendo $r=ln(a)\;$ .

$M_t=M_0 \cdot a^t\;$

Comparación entre el crecimiento lineal (rojo), crecimiento potencial (azul) y crecimiento exponencial (verde)

Ejemplos:

El ajedrez y los granos de trigo

Una conocida leyenda oriental ofrece una descripción muy exacta de una función exponencial. Cuentan que un rey quiso premiar las dotes adivinatorias del sumo sacerdote que había predicho una extraordinaria victoria en una batalla. El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera casilla de un tablero de ajedrez, 4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez por cada nueva casilla. El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote... hasta que comprobó la magnitud de su petición. El número de granos de trigo era:

$2^{64}+ 2^63 + ... + 2^2 + 2\;$

una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo el reino.

Los sumandos de esta expresión responderían, en la notación matemática actual, a la función $2^x\;$ , para el dominio x = 1, 2, 3, ..., 64.

El interés continuo

El capital obtenido de la inversión de un capital inicial $C_0\;$ a un interés compuesto $r\;$ en $n\;$ periodos anuales sigue la fórmula:

$C_t = C_0 \left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}$

siendo $t\;$ el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión.

Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo exponencial:

$C_t = C_0 \cdot e^{rt}\;$

Desintegración radiactiva

Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si $R_0\;$ es la cantidad inicial de sustancia y $k\;$ la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo $t\;$ será:

$R_t = R_0 \cdot e^{-kt}$

Crecimiento demográfico

Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. siendo $P_0\;$ la población inicial e $i\;$ el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial: