Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)
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Vector de dirección de una recta
- Una recta queda determinada por un punto y un vector que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
- Dos puntos y de una recta determinan un vector de dirección de la misma, .
Actividad interactiva: Determinación de una recta Actividad 1: En esta escena podrás comprobar como una recta queda determinada por un vector de dirección y un punto. Actividad: Mueve, en la figura superior, el punto P y la punta del vector y observa los cambios:
Actividad 2: En esta escena podrás comprobar como una recta queda determinada por dos puntos. Actividad: Observa los diferentes elementos de la figura. Cambia las posiciones de P y Q a (2,-1) y (6,2) respectivamente y observa los cambios
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Ecuación vectorial de la recta
Actividad interactiva: Ecuación vectorial de la recta Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando su ecuación vectorial. Actividad:
Ahora pasa a la siguiente escena:
Modifica la posición de P y hasta visualizar y obtener la ecuación vectorial de las siguientes rectas:
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Ecuaciones paramétricas de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta con vector de dirección y que pasa por el punto .
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A partir de la ecuación verctorial de la recta
si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:
Igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones.
Actividad interactiva: Ecuaciones paramétricas de la recta Actividad 1: En la siguiente escena tenemos la recta con vector de dirección y que pasa por el punto . Veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando sus ecuaciones paramétricas. Actividad: Su ecuación vectorial es: y sus ecuaciones paramétricas: Calcula las coordenadas de los puntos para y compruébalo en la escena:
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Ecuación continua de la recta
Ecuación continua de la recta con vector director y que pasa por un punto :
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A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro (siempre y cuando las dos coordenadas del vector sean distintas de cero), tenemos:
Igualando ambos valores de , obtenemos la ecuación.Ejemplo: Ecuación continua de la recta
- Halla la ecuación continua de la recta con vector director que pasa por el punto .
De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro e igualamos:
Ecuación implícita de la recta
Ecuación implícita de la recta:
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Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que y )
Multiplicando en cruz:
y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:
de donde, haciendo: , y
se tiene la ecuación.
Antes hemos supuesto y . Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:
- Si , las ecuaciones paramétricas serían:
de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación y su ecuación implícita sería .
- Si , las ecuaciones paramétricas serían:
Ejemplo: Ecuación implícita de la recta
- Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos y .
Primero calculamos su vector de dirección:
Obtenemos las ecuaciones paramétricas con ese vector director y con uno de los dos puntos, por ejemplo . A partir de éstas obtenemos la ecuación continua:
Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, obtenemos la ecuación implícita:
Proposición
Dada una recta de ecuación :
- El vector es un vector de dirección de la recta.
- El vector es un vector perpendicular a la recta. Se denomina vector normal a la recta.
Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo , y , se tenía la ecuación implícita .
Entonces, el vector , que es el vector director de la recta
Y el vector es perpendicular a la recta porque , y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.
Actividad interactiva: Vector normal de una recta Actividad 1: En la siguiente escena vamos a obtener la ecuación implícita de la recta y a partir de ella obtendremos su vector normal. Actividad: Partimos de las ecuaciones paramétricas y obtenemos su ecuación continua. Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos su ecuación implícita: Su vector normal es .
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Ecuación explícita de la recta
Ecuación explícita de la recta:
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donde se llama pendiente de la recta y ordenada en el origen.
Partiendo de la ecuación implícita
y despejando (siempre que ), tenemos:
Llamando y , tenemos la ecuación.Ejemplo: Ecuación explícita de la recta
- Halla la ecuación explícita de la recta de ecuaciones paramétricas:
Partimos de las ecuaciones paramétricas y obtenemos su ecuación continua.
Para obtener la ecuación explícita basta con despejar :
Actividad interactiva: Ecuación explícita de una recta Actividad 1: En esta escena podrás comprobar como varía una recta al modificar los valores de y . Actividad: Desliza el primer punto verde para modificar el valor de la pendiente m y observa los cambios.
Vuelve a la gráfica inicial pulsando el botón Actualizar () y prueba a modificar, mediante el segundo deslizador, la ordenada en el origen (n)
Actividad 2: En esta escena podrás comparar rectas con la misma pendiente. Actividad: Observa las tres rectas de la figura:
Mueve los deslizadores y observa los cambios.
Actividad 3: En esta escena podrás comparar rectas con la misma ordenada en el origen. Actividad: Observa las tres rectas de la figura:
Mueve los deslizadores y observa los cambios.
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Proposición
- La pendiente de una recta mide el incremento de la ordenada cuando la abcisa se incrementa en una unidad.
- Si y son dos puntos de la recta, entonces su pendiente es
- El vector de coordenadas es un vector de dirección de la recta.
1. Sean y , dos puntos de la rectan y tomemos .
Sus abcisas y difieren en 1.
Veamos sus ordenadas en cuanto difieren:
2. Por la definición de tangente de un ángulo:
3. En la deducción de la ecuación explícita vimos que , entonces:
Si multiplicamos ambas coordenadas por , obtenemos otro vector con la misma dirección:
Actividad interactiva: Pendiente de una recta
Actividad 1: En la siguiente escena puedes comprobar la segunda de las proposiciones anteriores sobre la pendiente de la recta que pasa por dos puntos.
Actividad: Toma nota de las coordenadas de los puntos y y calcula la pendiente con la fórmula: Comprueba los resultados en la siguiente escena:
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Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Actividad interactiva: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Actividad 1: En esta escena podrás comprobar como una recta queda determinada por dos puntos y ver sus distintas ecuaciones. Actividad: Observa los diferentes elementos de la figura. Cambia las posiciones de P y Q a (2,-1) y (6,2) respectivamente y observa los cambios
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Ecuación punto-pendiente de la recta
Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto y tiene pendiente
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Partimos de la ecuación explícita
Sustituimos el punto en la ecuación y despejamos :
Sustituimos este valor de en la ecuación explícita y sacamos factor común :
Actividad interactiva: Ecuación punto-pendiente de la recta Actividad 1: En la siguiente escena vamos a hallar la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos y . Actividad: Primero calculamos la pendiente: Con esta pendiente y uno de los puntos, por ejemplo, , obtenemos la ecuación punto-pendiente: Comprueba los resultados en la siguiente escena:
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Estudio "no vectorial" de la recta
- La función lineal.
- Representación gráfica de una recta a partir de su ecuación.
- Pendiente de una recta.
- Representación gráfica de una recta a partir de su pendiente y de un punto por el que pasa.
- Rectas perpendiculares al eje de abscisas.
- Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
- Ejemplos.
- Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por un punto dado con pendiente dada.
- Ejemplos.
- Distintas formas de escribir la ecuación de la recta.
- Ejemplos.
- Rectas paralelas: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
- Rectas perpendiculares: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
- Cálculo de la tasa de variación de una recta.
- Ejemplos