Más por menos: Números naturales. Números primos

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Resumen

Nuestra vida gira en torno a los números naturales y éstos se han convertido en algo imprescindible.

Algunos pueblos como los zulues o los pigmeos africanos sólo conocen el "uno" y el "dos". Para cantidades mayores dicen "muchos".

Nuestros sentidos están preparados para distinguir hasta 5 objetos. Para contar más recurrimos a la comparación, al reordenamiento, a la agrupación o al proceso abstracto de contar.

Origen de los números naturales:

• La necesidad de contar las cabezas de ganado, las piezas cazadas, los supervivientes de las batallas, etc.

Restos prehistóricos que indican el hombre primitivo contaba:

• Muescas en huesos y piedras, rayas pintadas en paredes de cuevas son las primeras pruebas de la aritmética.

Sistemas de numeración:

• Las partes del cuerpo humano se usaban habitualmente para contar.
• El sistema de numeración en base 10 se origina al contar con los dedos de las manos. Ha sido, por tanto, el más habitual.
• El sistema en base 12 tiene su origen en contar las 3 falanges de los 4 dedos con el pulgar. En la actualidad lo usamos para el conteo de alimentos por docenas
• El sistema en base 20 (20 dedos entre manos y pies) era menos habitual.
• Sumerios y babilonios usaban un sistema de numeración en base 60. Su origen parece que se debe a una combinación de las base 12 y 10 ya que m.c.m.(12,10)=60 . En la actualidad se sigue usando medir el tiempo y los ángulos.

Escuela de Pitágoras (s. VI a.C.):

• Ven los números como entes abstractos con propiedades propias al margen de los objetos que representaban.
• Colocan a los números como principio y explicación del universo y les atribuían propiedades místicas.
  • 1: Es el generador de todos los números, el número de la razón. Representa la singularidad, el orden.
  • 2: Primer par o hembra. Representa la diversidad.
  • 3: Primer número macho. Representa la armonía.
  • 4: Representa la justicia.
  • 5: Representa el matrimonio (3+2=5)
  • 6: Representa la creación.
  • 10: El tetractis, su número sagrado, el número del Universo pués es suma de las cuatro dimensiones: punto, linea (2 ptos), plano (3 ptos) y espacio (4 ptos): 1+2+3+4=10.
• Asociaban los números a formas geométricas: Números triangulares (1,3,6,10,15,...), cuadrados (1,4,9,16,25,...), pentagonales (1,5,12,22,...) hexagonales (1,6,15,28,...), rectangulares (compuestos) y lineales (primos).

Números primos:

• Euclides (s. IV a.C.) demuestra que hay infinitos.
• No se conoce algoritmo que los genere solo fórmulas que generan muchos pero imperfectas.
• Los números gemelos son parejas de números primos de la forma (n,n+2).
• Conjeturas:
  • Una conjetura es una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha. Por ejemplo, que hay infinitas parejas de números gemelos
  • Conjeturas de Goldbach (s. XVIII):
    • Conjetura "fuerte" de Goldbach: Todo num par mayor que 4 es suma de dos primos.
    • Conjetura "débil" de Goldbach: Todo num impar mayor que 7 es suma de 3 primos.
• En criptografía, la codificación mediante el algoritmo RSA se apoya en la difilcutad (incluso para los grandes ordenadores) de factorizar números grandes que son producto de dos num primos.