Más por menos: Números naturales. Números primos

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Números naturales. Números primos (17´)     Sinopsis:

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Los números que nos sirven para contar, los números naturales, uno de los más viejos inventos de la Humanidad. ¿Cómo serían nuestras vidas sin la existencia de estos números?... Desde los pitagóricos, que los consideraron como el principio y la explicación de todo el Universo, hasta nuestros días estos números han ejercido un poderoso influjo sobre los matemáticos de todas las épocas. Uno de los campos que ha tenido en jaque a los grandes matemáticos es el de los números primos; una auténtica caja de sorpresas. Aún hoy, utilizando potentes ordenadores, no se han podido demostrar algunas de las conjeturas formuladas sobre estos números hace más de doscientos años. Veremos algunas de ellas y descubriremos una de las aplicaciones más extrañas de los números primos en la actualidad, su utilización en criptografía.

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Resumen

Nuestra vida gira en torno a los números naturales y éstos se han convertido en algo imprescindible.

Algunos pueblos como los zulues o los pigmeos africanos sólo conocen el "uno" y el "dos". Para cantidades mayores dicen "muchos".

Nuestros sentidos están preparados para distinguir hasta 5 objetos. Para contar más recurrimos a la comparación, al reordenamiento, a la agrupación o al proceso abstracto de contar.

Origen de los números naturales:

• La necesidad de contar las cabezas de ganado, las piezas cazadas, los supervivientes de las batallas, etc.

Restos prehistóricos que indican el hombre primitivo contaba:

• Muescas en huesos y piedras, rayas pintadas en paredes de cuevas son las primeras pruebas de la aritmética.

Sistemas de numeración:

• Las partes del cuerpo humano se usaban habitualmente para contar.
• El sistema de numeración en base 10 se origina al contar con los dedos de las manos. Ha sido, por tanto, el más habitual.
• El sistema en base 12 tiene su origen en contar las 3 falanges de los 4 dedos con el pulgar. En la actualidad lo usamos para el conteo de alimentos por docenas
• El sistema en base 20 (20 dedos entre manos y pies) era menos habitual.
• Sumerios y babilonios usaban un sistema de numeración en base 60. Su origen parece que se debe a una combinación de las base 12 y 10 ya que m.c.m.(12,10)=60 . En la actualidad se sigue usando medir el tiempo y los ángulos.

Escuela de Pitágoras (s. VI a.C.):

• Ven los números como entes abstractos con propiedades propias al margen de los objetos que representaban.
• Colocan a los números como principio y explicación del universo y les atribuían propiedades místicas.
  • 1: Es el generador de todos los números, el número de la razón. Representa la singularidad, el orden.
  • 2: Primer par o hembra. Representa la diversidad.
  • 3: Primer número macho. Representa la armonía.
  • 4: Representa la justicia.
  • 5: Representa el matrimonio (3+2=5)
  • 6: Representa la creación.
  • 10: El tetractis, su número sagrado, el número del Universo pués es suma de las cuatro dimensiones: punto, linea (2 ptos), plano (3 ptos) y espacio (4 ptos): 1+2+3+4=10.
• Asociaban los números a formas geométricas: Números triangulares (1,3,6,10,15,...), cuadrados (1,4,9,16,25,...), pentagonales (1,5,12,22,...) hexagonales (1,6,15,28,...), rectangulares (compuestos) y lineales (primos).

Números primos:

• Euclides (s. IV a.C.) demuestra que hay infinitos.
• No se conoce algoritmo que los genere solo fórmulas que generan muchos pero imperfectas.
• Los números gemelos son parejas de números primos de la forma (n,n+2).
• Conjeturas:
  • Una conjetura es una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha. Por ejemplo, que hay infinitas parejas de números gemelos
  • Conjeturas de Goldbach (s. XVIII):
    • Conjetura "fuerte" de Goldbach: Todo num par mayor que 4 es suma de dos primos impares.
    • Conjetura "débil" de Goldbach: Todo num impar mayor que 7 es suma de 3 primos impares.
• En criptografía, la codificación mediante el algoritmo RSA se apoya en la difilcutad (incluso para los grandes ordenadores) de factorizar números grandes que son producto de dos num primos.