Plantilla:Progresiones aritméticas

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1 Progresiones aritméticas

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, $d\;\!$ , que llamaremos diferencia.

Por ejemplo:

es una progresión aritmética con diferencia d=4.

Término general de una progresión aritmética

Término general de una progresión aritmética

Sean $a_1, a_2, a_3, ..... \;\!$ términos de una progresión aritmética de diferencia $d\;\!$ . Entonces, se cumple que:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!$

Demostración:

En efecto, razonando por inducción:

$a_2 = a_1 + d = a_1 + 1 \cdot d \;\!$

$a_3 = a_2 + d = a_1 + d + d = a_1 + 2 \cdot d \;\!$

$a4 = a3 + d = a1 +2d + d = a_1 + 3 \cdot d \;\!$

........................

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!$

Suma de términos de una progresión aritmética

Suma de términos de una progresión aritmética

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

$S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}$

Demostración:

El porqué de esta fórmula se deduce de la siguiente historia:

En un pequeño pueblo de Alemania, Brunswick, un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos uno de los alumnos levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente, así era.

El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.

Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüss. Fue uno de los mas grandes matemáticos. Intenta enterarte de algo más sobre él.

Demostración:

Para la demostración nos basaremos en el hecho de que:

$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2} \cdots=K$