Plantilla:Sistemas de ecuaciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Sistemas de ecuaciones 2x2

En este tema vamos a trabajar con sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, también llamados sistemas 2x2.

  • Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas o simplemente, sistema 2x2, es la agrupación de dos ecuaciones con dos incógnitas (por ejemplo: x e y).
  • Se llama solución de un sistema 2x2 a cualquier pareja de valores de x e y que sea solución de ambas ecuaciones a la vez.Resolver un sistema es hallar sus soluciones.
  • Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Número de soluciones de un sistema

  • Un sistema es compatible si tiene solución e incompatible si no la tiene.
  • Un sistema es determinado si tiene un número finito de soluciones e indeterminado si tiene infinitas soluciones.
  • Usaremos las siguientes siglas para abreviar:
    • S.C.D. : Sistema Compatible Determinado (un número finito de soluciones)
    • S.C.I. : Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)
    • S.I. : Sistema Incompatible (sin solución)

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (11´07")     Sinopsis:
  • Definición de sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
  • Sistemas equivalentes.
  • Clasificación de los sistemas atendiendo al número de soluciones.

Métodos de resolución de sistemas

En cursos pasados estudiamos sistemas de ecuaciones lineales; en éste, además, vamos a estudiar sistemas de ecuaciones que no son lineales. Vamos a ver tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción.

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra. Así, la ecuación sustituida, que se queda con una sola incógnita, se resuelve, lo que permite averiguar esa incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.

ejercicio

Ejemplo: Método de sustitución

Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:
\begin{cases} \qquad 2x-y & \mbox{=}\mbox{ 9} \\ \sqrt{x+y} + y & \mbox{= }\mbox{ x} \end{cases}
Solución:

Despejamos la y\;\! en la primera ecuación:

y=2x-9\;\!

Sustituimos esta expresión de la y\;\! en la segunda ecuación:

\sqrt{3x-9} + 2x-9=x \ \rightarrow \ \sqrt{3x-9} = 9-x

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación para quitar el símbolo radical:

3x-9=(9-x)^2 \ \rightarrow \ 3x-9=81+x^2-18x \ \rightarrow \ x^2-21x+90=0 \ \rightarrow \ \begin{cases} x_1=6 \rightarrow y_1=3 \\ x_2=15 \rightarrow y_2=21 \quad (no \ vale) \end{cases}

Comprobadas las soluciones en el sistema de partida, sólo resulta válida la primera solución.


Solución: x= 6 \ , \ y=3

3 ejercicios por el método de sustitución (11´23")     Sinopsis:

Videotutorial

Método de igualación

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita. Esta se resuelve y permite averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.

ejercicio

Ejemplo: Método de igualación

Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:
\begin{cases} x \ = \ y^2 \\ x \ = \ 2(y-1)+5 \end{cases}
Solución:

Como ya tenemos despejada la x\; en ambas ecuaciones, igualamos ambas expresiones:

y^2=2(y-1)+5 \ \rightarrow \ y^2-2y-3=0 \ \rightarrow \ y = \begin{cases} y_1=~3 \ \rightarrow \ x_1=9 \\ y_2=-1\ \rightarrow \ x_2= 1 \end{cases}


Soluciones: (x_1=9 \ , \ y_1=3) \ ; \ (x_2=1 \ , \ y_2=-1)

3 ejercicios por el método de igualación (8´10")     Sinopsis:

Videotutorial

Método de reducción

El método de reducción consiste en obtener ecuaciones equivalentes a las de partida, de manera que al sumarlas, se obtenga una ecuación en la que se ha eliminado una de las incógnitas. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita, que se resuelve, permitiendo averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.

ejercicio

Ejemplo: Método de reducción

Resuelve el siguiente sistema:
\begin{cases} log \ x - log \ y & \mbox{=}\mbox{ 5} \\ log \ x + log \ y & \mbox{=}\mbox{ 3} \end{cases}
Solución:

Sumando ambas ecuaciones, tenemos:

\begin{cases} log \ x - log \ y & \mbox{=}\mbox{ 5} \\ log \ x + log \ y & \mbox{=}\mbox{ 3} \end{cases}
___________________________
  ~2 \, log \ x \qquad \qquad =8 \ \rightarrow \ log \ x = 4 \ \rightarrow \ log \ x = log \ 10000 \ \rightarrow \ x=10000

Sustituyendo ese valor de x\; en la segunda ecuación, tenemos:

log \ 10000 \ + \ log \ y = 3 \ \rightarrow \ 4 \ + \ log \ y = 3 \ \rightarrow \ log \ y = -1 \ \rightarrow \ log \ y = log \ 10^{-1} \ \rightarrow \ y=10^{-1}=\cfrac{1}{10}


Solución: x=10000 \ , \ y=\cfrac{1}{10} \;

2 ejercicios por el método de reducción (10´54")     Sinopsis:

Videotutorial

2 ejercicios por el método de reducción (7´18")     Sinopsis:

Videotutorial

Problemas de sistemas de ecuaciones

2 problemas (7´06")     Sinopsis:

Videotutorial

2 problemas (7´03")     Sinopsis:

Videotutorial

1 problema (3´45")     Sinopsis:

Videotutorial

Interpretación geométrica de los sistemas lineales 2x2

Interpretación geométrica de los sistemas lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (9´33")     Sinopsis:

Videotutorial

Sistemas de ecuaciones 3x2

6 ejercicios de sistemas de 3 ecuaciones con 2 incógnitas (9´)     Sinopsis:

Videotutorial

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