Ángulo entre dos rectas del plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Ángulo entre dos rectas
2 Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección
3 Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita
4 Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes

Ángulo entre dos rectas

El ángulo entre dos rectas del plano es el menor de los dos ángulos que forman éstas entre sí.

Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección

Proposición

Dadas dos rectas con vectores de dirección $\overrightarrow{d}$ y $\overrightarrow{d'}$ , y sea $\alpha \,$ el ángulo que forman. Se verifica que

$cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}|}{|\overrightarrow{d}||\overrightarrow{d'}|}$

Demostración:

Sabemos que el coseno del ángulo entre dos vectores se obtiene de la siguiente manera:

$cos \, (\widehat{\overrightarrow{d}, \, \overrightarrow{d'}})=\cfrac{\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}}{|\overrightarrow{d}| \, |\overrightarrow{d'}|}$

De los dos ángulos que forman las dos rectas, uno es agudo (el menor) y otro es obtuso (el mayor), salvo que sean perpendicualares (*). Nosotros cogeremos el menor de ellos, es decir, el agudo. Cómo el coseno de un ángulo agudo es positivo, tomaremos valor absoluto en el miembro de la derecha, para conseguir que así el ángulo sea el menor:

$cos \, (\widehat{\overrightarrow{d}, \, \overrightarrow{d'}})=\cfrac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}|}{|\overrightarrow{d}| \, |\overrightarrow{d'}|}$

(*) Nota: En el caso en que sean perpendiculares, el producto escalar del numerador es cero y la igualdad queda $cos \, \alpha=0$ , de donde $\alpha=90^\circ$ .

Actividad interactiva: Ángulo entre dos rectas

Actividad 1: Halla el ángulo que forman dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas y utiliza la escena para comprobar los resultados.

Actividad:

Vamos a hallar el ángulo que forman las rectas:

$r_1: \, \begin{cases} x=-3+ 4t \\ y=4- t \end{cases} \qquad r_2: \, \begin{cases} x=-3+ 5t \\ y=4+ t \end{cases}$

Sus vectores de dirección son: $\overrightarrow{d_1}(4,-1)$ y $\overrightarrow{d_2}(5,1)$ , de manera que:

$cos \, \alpha=\cfrac{| \overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2}|}{|\overrightarrow{d_1}| \, |\overrightarrow{d_2}|}=\cfrac{19}{\sqrt{17} \, \sqrt{26}}=0.9 \rightarrow \alpha=25.34^\circ$

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

Halla el ángulo que forman las rectas siguientes y comprueba los resultados en la escena anterior:

$r_1: \, \begin{cases} x=-3+ t \\ y=4- 5t \end{cases} \qquad r_2: \, \begin{cases} x=-3+ 5t \\ y=4+ t \end{cases}$

Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita

Proposición

Sean $r:\, Ax+By+C=0$ y $r': \, A'x+B'y+C'=0$ dos rectas, y sea $\alpha \,$ el ángulo que forman. Se verifica que

$cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{n'}|}$

donde $n(A,B)\,$ y $n'(A',B')\,$ son los vectores normales de las rectas.

Demostración:

Cómo el vector normal a una recta es perpendicular al vector de dirección de la misma, hallar el ángulo entre las dos rectas equivale a hallar el ángulo entre los vectores normales o entre los vectores de dirección. Por tanto aplicaremos la misma fórmula que para hallar el ángulo a partir de los vectores de dirección, sustituyendo éstos por los vectores normales.

Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes

Proposición

Dadas dos rectas con pendientes $m\,$ y $m'\,$ . Se verifica que

$tg \, \phi = \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|$

Demostración:

Teniendo en cuenta que $m=tg \, \alpha$ y $m'=tg \, \beta$ , usando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, tenemos:

$tg \, \phi=tg \, (\alpha - \beta)= \Big| \cfrac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1+tg \, \alpha \, tg \, \beta} \Big|= \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|$